Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện đã cho

1. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước:

Cách giải dạng bài tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện đã cho:

Bài 1: Cho phương trình bậc hai  (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m khác 2

b, Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn hệ thức:

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải:

Bài 2: Cho phương trình  (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1, x2 của phương trình thỏa mãn

Hướng dẫn:

a) Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

b) Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải:

Bài 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

Hướng dẫn:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Lời giải:

3. Bài tập trắc nghiệm có lời giải:

Câu 1: Cho phương trình x² – (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình x² – (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x² – 2(m + 1)x + 2m = 0

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x₁, x₂ là

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x² + 2x – m² – 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x₁ = -3x₂

A. m = 3

B. m = ±1

C. m = ±√2

D. m = -2

Giải

Ta có: Δ’ = 1² – 1.(-m² – 1)=1 + m² + 1 = m² + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo Vi-ét ta có:

Ta có: x₁ + x₂ = -2 (do trên) và x₁ = -3x₂ nên có hệ phương trình sau:

Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là C

Câu 3: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + m – 1 = 0 (m là tham số)

Do đó:

Giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

A. m = ±2

B. m = ±√2

C. m = – 1

D. m = 0

Giải

Theo đề bài x₁, x₂ là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:

Vậy m = ±2  là các giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 6: Cho phương trình x² – 2x – 2m² = 0 với x là ẩn số.

Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x₁² = 4x₂².

A. m = ±2

B. m = ±1

C. m = -6

D. m = 3

Giải

Ta có: Δ’ = (-1)² – (-2m² )= 1 + 2m² > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ theo hệ thức Vi-ét:

Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là A

Câu 7: Cho phương trình x² – 5x + m = 0 (m là tham số).

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn |x₁ – x₂| = 3.

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 6

D. m = 8

Giải

Ta có: ∆ = 25 – 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì

Theo Vi-ét, ta có: x₁ + x₂  = 5 (1) và x₁.x₂ = m (3)

Mặt khác theo giả thiết ta có: |x₁ – x₂| = 3 (2)

Giải hệ (1) và (2):

Với x₁ = 4, x₂ = 1 thay vào (3) ta được m = 4

Với x₁ = 1, x₂ = 4 thay vào (3) ta được m = 4

m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình bậc hai x² + 2(m – 1)x – (m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn  và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Suy ra phương trình luôn có hai  nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Đáp án đúng là C

Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

A. m > – 1

B. m > 2

C. m < 2

D. m < 0

Giải

Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Cho phương trình x² – (2m + 3)x + m² + 3m + 2 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x₁ < x₂ < 6

A. m > 1

B. -2 < m < 2

C. -4 < m < 4

D. m < 3

Giải

Vì -3 < x₁ < x₂ < 6 nên

Vậy -4 < m < 4.

Đáp án đúng là C

4. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài 1: Cho phương trình: x² – 14x + 29 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂

Hãy tính:

Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + m – 4 = 0, m là tham số.

a) Giải phương trình khi m = -5.

b) Chứng minh rằng: Phương trình luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi tham số m.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

e) Chứng minh rằng biểu thức A = x₁(1 – x₂) + x₂(x – x₁) không phụ thuộc tham số m.

Bài 3: Cho phương trình ẩn x: (m – a)x² + 2mx + m – 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm . Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình có nghiệm? Có 2 nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép?

d) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂ hãy tính:

i) A = x²₁ + x²₂ theo tham số m.

ii) Tìm m để A = 1

Bài 4: Cho phương trình  (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

Bài 5: Cho phương trình

a, Giải phương trình khi m = – 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 =2×2

Bài 6: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Bài 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Bài 8: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Bài 9: Tìm m để phương trình  có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2×1 + 3×2 = -1