Bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm. Mời các bạn học sinh tham khảo trong bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm:
Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:
Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM
⇒ Đường thẳng ( d) : 
⇒ Phương trình đường thẳng d.
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :
– Đường thẳng ( d) : 
⇒ (d): A(x – x0) + B( y – y0) = 0.
– Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R
⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.
– Chọn A= … ⇒ B=…⇒ Phương trình đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x – 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x – 3y + 5 = 0 . D. x + 3y – 16 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.
⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.
Suy ra phương trình d: 1( x – 4) + 3( y – 4 ) = 0
Hay x + 3y – 16 = 0.
Chọn D.
Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là
A. 2x + y = 0; 2x + y – 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y – 1 = 0
C. 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y – 10 = 0
Hướng dẫn:
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :
d( I , ∆) = R ⇔ 
= √5 ⇔ |5 + m| = 5
Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y – 10 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .
A. x – 4 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0 B. x – 4 = 0 hoặc y – 6 = 0.
C. y – 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 36 = 0 D. x – 4 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính 
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x – 4) + b(y – 6) = 0 hay ax + by – 4a – 6b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x – 4 = 0.
+ Nếu 4a = – 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x – 4y + 12 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x – 4 = 0 và 3x – 4y + 12 = 0 .
Chọn D.
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:
A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0
C. d: 3x – 4y – 2 = 0 D. d: 4x + 3y – 11 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.
+ Đường thẳng d: 
⇒Phương trình (d) : 4( x – 2) + 3( y – 1) = 0 hay 4x + 3y – 11 = 0
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .
A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x – 2y – 11 = 0
C. d: x – y – 7 = 0 D. d: x – y + 7 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.
+ Phương trình đường thẳng (d): 
⇒ phương trình (d) là: 2( x – 3) – 2( y + 4) = 0
⇔ (d) : 2x – 2y – 14 = 0 hay x – y – 7 = 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5.
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x – 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔ 4a2 – 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 – 4ab = 0
+ Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ.
+ Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y – 24 = 0
⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là:
Chọn B.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 
= 4.
Độ dài OI = 
= √5
⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O.
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được :
( 4 – 3)2 + (-3 + 3)2 = 1
⇒ Điểm M thuộc (C).
⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M.
Chọn B.
Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2.
Độ dài IN = 
= 5 > R
⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C).
Chọn C.
3. Bài tập vận dụng kèm đáp án:
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 – 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:
A. d: x + 3y – 2 = 0 B. d: x – 3y + 4 = 0
C. d: x – 3y – 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường tròn (C) có tâm I( 3/2 ; 1/2 ).
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.
+ Phương trình đường thẳng (d) : 
⇒(d): 1(x – 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0
Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 – 2x + 8y – 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :
A. 10 B. 2√10 C. 
D. √10
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .
Độ dài IM = 
= √50 > R
⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MA = MB = 
= √10
Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.
Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 – 3x – y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:
A. x + 3y – 1 = 0 B. 2x – 3y + 1 = 0 C. 2x – y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I( 3/2 ; 1/2 ).
Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (- 1/2 ; – 3/2 ) = – 1/2 (1; 3) nên có phương trình:
1( x – 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0
Câu 4: Cho đường tròn (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x – 3y + 5 = 0 B. x + 3y – 4 = 0 C. x – 3y + 16 = 0 D. x + 3y – 16 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.
Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.
Suy ra (d) : 1( x – 4) + 3( y – 4) = 0 hay x + 3y – 16 = 0
Câu 5: Cho đường tròn (x – 2)2 + (y – 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là
A. x + y – 4 = 0 và x – y – 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1.
C. 2x – y – 3 = 0 và 3x + 2y – 3 = 0. D. 3x – 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.
+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B)
⇒ (∆ ) : A( x – 5) + B( y + 1) = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :
+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0
+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được 😡 – 5 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x – 5 = 0
