Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn?

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm đường tròn được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, còn bán kính đường tròn được gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ví dụ: Trong hình a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O vì có cả bốn đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đường tròn tâm O.

           Trong hình b) tứ giác MNPE không phải là tứ giác nội tiếp vì có điểm E không nằm trên đường tròn tâm O.

2. Tính chất của tứ giác nội tiếp:

Tứ giác nội tiếp có các tính chất sau đây:

Thứ nhất, Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp đường tròn.

Thứ hai, Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tứ giác. Nói cách khác, tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định mà ta có thể xác định được thì điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Thứ ba, Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền hai đỉnh kia.

Thứ tư, Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc vuông cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà hai góc cùng nhìn vào cạnh đó.

3. Định lí về tứ giác nội tiếp:

Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180º.

Ví dụ: Cho hình tứ giác ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn tâm O. Chứng minh rằng: góc A + góc C = 180º  và góc B + góc D = 180º

Ta có: Góc A là góc nội tiếp chắn cung BCD => Góc A = 1/2 cung BCD.

Góc C là góc nội tiếp cung BAD => Góc C =1/2 cung BAD.

Do đó: Góc A + góc C = 1/2 cung BCD + 1/2 cung BAD.

<=> Góc A + góc C = 1/2 ( cung BCD + cung BAD )

<=> Góc A + góc C = 1/2.360º

<=> Góc A + góc C = 180º

Ta có: Góc B là góc nội tiếp chắn cung ADC => Góc B = 1/2 cung ADC

Góc D là góc nội tiếp chắn cung ABC => Góc D = 1/2 cung ABC

Do đó: Góc B + góc D = 1/2 cung ADC + 1/2 cung ABC

<=> Góc B + góc D = 1/2( cung ADC + cung ABC)

<=> Góc B + góc D = 1/2.360º

<=> Góc B + góc D = 180º

Kết luận: Góc A + góc C = 180º và Góc B + góc D = 180º.

Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180º thì tức giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có góc B + góc D = 180º. Vì điểm A, B, C không thẳng hàng nên ta vẽ đường tròn tâm O qua ba điểm A, B, C. Khi đó, hai điểm A và C chia đường tròn tâm O thành hai cung ABC và AmC.

Ta có: góc AmC là cung chứa góc (180º – góc B) dựng trên đoạn thẳng AC.

Từ giả thiết, suy ra: góc D = 180º – góc B

Kết luận: Vậy điểm D nằm trên cung AmC => Tứ giác ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn tâm O.

4. Dấu hiệu nhận biết:

Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180º.

Ví dụ: Góc A + góc C =180º  nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn.

Ví dụ: OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm O.

Tứ giác hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có góc ngoài D1 = góc B nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có hai góc A1 và góc B1 cùng nhìn cạnh DC và góc A1 = góc B1 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.

5. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp.

– Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180º.

– Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm.

– Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

– Cách 4: Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.

Dạng 2: Chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng, hệ thức giữa các cạnh,…

6. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Hãy chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.

b) HD.HA = HE.HB = HF.HC.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: góc BEC = góc BFC = 90º.

=> Các điểm E, F cùng nằm trên đường tròn có đường kính BC.

=> Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ đường tròn tâm O có BC là đường kính.

Xét tam giác BHF và tam giác CHE, ta có:

– Góc EBF = góc ECF ( là hai góc nội tiếp cùng chắn )

– Góc FHB = góc EHC ( là hai góc đối đỉnh )

=> Tam giác BHF = tam giác CHE.

Ta có: BH/CH = HF/HE hay HE.HB = HF.HC (1)

Chứng minh tương tự như trên, ta có: HD.HA = HE.HB (2)

Từ (1) và (2) => HD.HA = HE.HB = HF.HC ( điều phải chứng minh ).

Bài tập 2: Cho một nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm M, trên nửa đường tròn (O) lấy điểm N. Từ điểm A và B vẽ các đường tiếp tuyến Ax và By. Vẽ đường thẳng qua điểm N sao cho đường thẳng này vuông góc với NM và cắt tia Ax và By tại các điểm lần lượt là C và D. Hãy chứng minh rằng:

a) Tứ giác ACNM và tứ giác BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD.

c) Tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tứ giác ACNM, ta có: góc MNC = 90° ( theo tính chất tiếp tuyến )

=> góc MNC + góc MAC = 180° . Suy ra tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Xét tứ giác BDNM, ta có: góc MND = 90º

=> góc MND + góc MBD = 180º. Suy ra tứ giác BDNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MD.

b) Xét tam giác ANB và tam giác CMD, ta có: góc ABN = góc CDM ( tứ giác BDNM nội tiếp) và góc BAN = góc DCM  (tứ giác ACNM nội tiếp)

Suy ra tam giác ANB đồng dạng tam giác CMD.

c) Xét tam giác ANB đồng dạng tam giác CMD, ta có:  góc CMD = góc ANB = 90° (do góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

=> góc IMK = góc INK = 90°. Suy ra: góc INK + góc IMK = 180°

Kết luận: Vậy tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn có IK là đường kính.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AC. Hình chiếu của điểm D lên BC là điểm E, lấy điểm F là điểm đối xứng của điểm E qua BD. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm O của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có: DE vuông góc với BC . Suy ra: góc DBE = 90°

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD => BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF => BE = BF và DE = DF.

Vì tam giác BFD = tam giác BED. Suy ra: góc BFD = góc BED = 90°

Gọi O là trung điểm của BD => OB = OD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là đường trung tuyến => AO = 1/2 BD = OB = OD (1)

Xét tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là đường trung tuyến => EO = 1/2 BD = OB = OD (2)

Xét tam giác vuông BFD vuông tại F có OF là đường trung tuyến => FO = 1/2 BD = OB = OD (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:  OA = OB = OD = OE = OF

Kết luận : Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O và O là trung điểm của BC.

Bài tập 4: Cho tam giác nhọn ABC có góc A > góc B > góc C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M và N. Gọi điểm P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Hãy chứng minh rằng:

a) Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải: 

a)  Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh AB và cạnh AC lần lượt tại các điểm M và N nên AM = AN

=> Tam giác AMN cân tại A.

Ta có: góc CNQ = góc ANM ( hai góc đối đỉnh)

= (180^o – góc A)/2 = ( góc B +  góc C)/2

=góc IBC + góc ICB = góc CIQ

Trong tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp là điểm I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn. => Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.

b) Vì tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp => góc INC = góc IQC

Vì AC tiếp xúc với đường tròn tâm I tại điểm N => IN ⊥ AC hay góc INC = 90º => góc IQC = 90^o  (1)

Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB là tứ giác nội tiếp => góc IMB = góc IPB = 90º (2)

Từ (1) và (2) => góc BPC = góc BQC = 90^o => Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính BC.