Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học lớp 11

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học lớp 11 sẽ giúp các bạn học sinh tổng hợp kiến thức cơ bản Hình học 11 để học tập hiệu quả hơn môn Toán. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây.

1. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng:

1.1. Phép biến hình:

* Định nghĩa: 

Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm M của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng đó .

Bạn Cần Biết

* Kí hiệu và thuật ngữ:

Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình F :

Bạn Cần Biết

- Điểm M' gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F , hay M là điểm tạo ảnh của điểm M' .

- Nếu H là một hình nào đó thì H' ( gồm các điểm M' là ảnh của Bạn Cần Biết ) được gọi là anh của H qua phép biến hình F .

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

* Tích của hai phép biến hình

Cho hai phép biến hình FG . Gọi M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. M' là ảnh của M qua F , M'' là ảnh của M' qua G .

Ta nói, M''  là ảnh của M trong tích của hai phép biến hình FG . Ký hiệu G.F

Bạn Cần Biết

1.2. Phép tịnh tiến:

* Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ Bạn Cần Biết. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho Bạn Cần Biết được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ Bạn Cần Biết.

  • Phép tịnh tiến theo vectơ  Bạn Cần Biết kí hiệu là: Bạn Cần Biết được gọi là vectơ tịnh tiến.

  • Ta có: Bạn Cần Biết

  • Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.

Bạn Cần Biết

* Tính chất:

Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M',N' thì  Bạn Cần Biết , từ đó suy ra M'N'=MN

Bạn Cần Biết

Tính chất 2:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

* Biểu thức tọa độ:

Bạn Cần Biết

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ Bạn Cần Biết. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ Bạn Cần Biết có biểu thức tọa độ: Bạn Cần Biết

1.3. Phép đối xứng trục:

* Định nghĩa

Phép đối xứng qua một đường thẳng Bạn Cần Biết là phép biến hình biến điểm M thành điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng Bạn Cần Biết

Kí hiệu :  Bạn Cần Biết

 

Bạn Cần Biết là hình chiếu của M trên Bạn Cần Biết  Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

* Tính chất

Tính chất 1 : Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Tính chất 2 : Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Bạn Cần Biết

Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

* Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng Bạn Cần Biết gọi là trục đối xứng của hình H  nếu Bạn Cần Biết biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng.

* Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Bạn Cần Biết: Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

1.4. Phép đối xứng tâm:

* Định nghĩa

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M' sao cho I là trung điểm MM' được gọi là phép đối xứng tâm I

Kí hiệu: Bạn Cần Biết là tâm đối xứng)

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

* Tính chất

Tính chất 1 : Nếu Bạn Cần Biết

Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nóm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Bạn Cần Biết

* Tâm đối xứng của một hình

Điểm được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm  biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.

* Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

1.5. Phép quay:     

Bạn Cần Biết

* Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác Bạn Cần Biết không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M' sao cho OM=OM' và (OM,OM')= Bạn Cần Biết được gọi là phép quay tâm O góc quay Bạn Cần Biết.

Kí hiệu: Bạn Cần Biết (O là tâm phép quay, Bạn Cần Biết là góc quay lượng giác).

Bạn Cần Biết

zNhận xét:

  • Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).

  • Với Bạn Cần Biết ta luôn có Bạn Cần Biết

Phép quay:

Bạn Cần Biết là phép đồng nhất;

Bạn Cần Biết là phép đối xứng tâm.

Study tip: Bạn Cần Biết

* Tính chất

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Study tip. Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự.

Bạn Cần Biết

Nhận xét: Gọi Bạn Cần Biết là góc của phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d':

Bạn Cần Biết

* Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng với hệ trục Bạn Cần Biết, xét phép quay Bạn Cần Biết

Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc tọa độ O  Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Study tip:

Bạn Cần Biết

Trường hợp 2: Khi tâm quay Bạn Cần Biết. Ta có:

Bạn Cần Biết

Study tip:

Bạn Cần Biết

1.6. Phép dời hình và hai hình bằng nhau:

* Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Nhận xét:

- Các phép Đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục và phép quay là những phép dời hình

- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

* Tính chất

Phép dời hình:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bào toàn thứ tự giữa chúng

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

* Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

1.7. Phép vị tự:

* Định nghĩa

Cho điểm O cố định và số k không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm Bạn Cần Biết sao cho Bạn Cần Biết được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Kí hiệu: Bạn Cần Biết (O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự)

Bạn Cần Biết

Nhận xét:

- Khi Bạn Cần Biết nằm cùng phía đối với điểm O

- Khi Bạn Cần Biết nằm khác phía đối với điểm O

Khi Bạn Cần Biết đối xứng nhau qua tâm O nên Bạn Cần Biết

- Khi Bạn Cần Biết phép vị tự Bạn Cần Biết trở thành phép đồng nhất

Bạn Cần Biết

* Tính chất

Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M',N' thì

Bạn Cần Biết

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn bán kính Bạn Cần Biếtthành đường tròn có bán kính Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

* Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Bạn Cần Biết cho phép vị tự Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

* Tâm vị hai đường tròn

Định lý: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự như thế được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Bạn Cần Biết

Cho hai đường tròn Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết các trường hợp:

• TH1: Nếu Bạn Cần Biết thì phép vị tự tâm Bạn Cần Biết tỉ số Bạn Cần Biết biến đường tròn Bạn Cần Biết thành đường tròn Bạn Cần Biết ( Hình a).

• TH2: Nếu Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết thì phép vị tự tâm O tỉ số Bạn Cần Biết và phép vị tự tâm Bạn Cần Biết tỉ số Bạn Cần Biết sẽ biến Bạn Cần Biết thành Bạn Cần Biết ( Hình b) .

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài, Bạn Cần Biết là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

• TH3: Nếu Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết thì có một phép vị tự tâm Bạn Cần Biết tỉ số Bạn Cần Biết biến đường tròn Bạn Cần Biết thành Bạn Cần Biết hay phép đối xứng tâm (Hình c).

1.8. Phép đồng dạng:

* Định nghĩa

Một phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0)nếu với hai điểm bất kỳ M,N và ảnh M',N' tương ứng của chúng ta luôn có M'N'=kMN

Bạn Cần Biết

Nhận xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k = 1.

- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.

* Tinh chất

Phép đồng dạng tỉ số k

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toán thứ tự giữa chúng.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến một đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|.R.

STUDY TIP

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC thành tương ứng của tam giác A'B'C'.

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh.

* Hình đồng dạng

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

Định nghĩa: Đường thẳng

Đường thẳng là tập hợp các điểm được kết nối kéo dài vô tận theo hai hướng. Một đường đi qua các điểm A và B có thể được đặt tên theo nhiều cách. Chẳng hạn, đường đi qua AB có thể được xác định bởi AB, BA, đường thẳng AB hoặc đường thẳng BA.

Bạn Cần Biết

Định nghĩa: Mặt phẳng

Mặt phẳng là một bề mặt 2 chiều được tạo thành từ các điểm mở rộng vô tận theo mọi hướng. Tồn tại đúng một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

 
Bạn Cần Biết

* Mối quan hệ giữa hai đường thẳng trong không gian

Có ba mối quan hệ mà hai đường thẳng có thể có. Đầu tiên, hãy xem xét một cặp đường đồng phẳng. Những đường này có thể cắt nhau ở bất kỳ góc nào, như được minh họa trong hình ảnh sau hoặc chúng có thể vuông góc.

Bạn Cần Biết

Nếu các đường thẳng đồng phẳng không cắt nhau thì chúng song song. Hai đường thẳng này sẽ không bao giờ gặp nhau.
Bạn Cần Biết

Một cặp đường thẳng không cắt nhau và không song song với nhau được gọi là xiên. Các đường xiên chỉ có thể tồn tại trong không gian 3 chiều.

Bạn Cần Biết

* Mối liên hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Có ba mối quan hệ mà một đường thẳng và một mặt phẳng có thể có.

Một đường thẳng có thể nằm trên một mặt phẳng. Trong trường hợp này, mọi điểm trên đường thẳng sẽ nằm trên mặt phẳng.

Bạn Cần Biết

Nếu một đường thẳng cắt một mặt phẳng thì giao điểm là một điểm nằm trên cả hai mặt phẳng đó.

Bạn Cần Biết

Một đường thẳng cũng có thể cắt một mặt phẳng trực giao, trong trường hợp đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng này vuông góc với tất cả các đường thẳng trên mặt phẳng cắt đường thẳng này.

Bạn Cần Biết

Nếu một đường thẳng không cắt một mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng.

Bạn Cần Biết

* Mối quan hệ giữa hai mặt phẳng trong không gian

Cuối cùng, có ba mối quan hệ có thể tồn tại giữa hai mặt phẳng trong không gian. Nếu hai mặt phẳng có chung tất cả các điểm thì chúng trùng nhau.

Bạn Cần Biết

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì giao điểm luôn là một đường thẳng. Hai mặt phẳng này có thể cắt nhau vuông góc.

Bạn Cần Biết

Hai mặt phẳng này không cắt nhau. Chúng là những mặt phẳng song song.

 Bạn Cần Biết

 3. Vectơ trong không gian:

* Định nghĩa và các phép toán:

- Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

- Phép cộng, trừ vectơ:

- Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: Bạn Cần Biết.

- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: Bạn Cần Biết.

- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp Bạn Cần Biết, ta có: Bạn Cần Biết.

- Lưu ý:

Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ Bạn Cần Biết

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k Bạn Cần Biết, điểm O tùy ý.

Ta có: Bạn Cần Biết

Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.

Ta có: Bạn Cần Biết

Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm Bạn Cần BiếtABC, điểm O tùy ý.

Ta có:  Bạn Cần Biết

* Sự đồng phẳng của ba vectơ:

- Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ Bạn Cần Biết, trong đó Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết không cùng phương.

Khi đó: Bạn Cần Biết đồng phẳng Bạn Cần Biết

- Cho ba vectơ Bạn Cần Biết không đồng phẳng, Bạn Cần Biết tùy ý.

Khi đó: Bạn Cần Biết

* Tích vô hướng của hai vectơ:

- Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: Bạn Cần Biết.

Khi đó: Bạn Cần Biết

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Cho Bạn Cần Biết. Khi đó: Bạn Cần Biết

- Với Bạn Cần Biết hoặc Bạn Cần Biết, quy ước: Bạn Cần Biết

- Với Bạn Cần Biết, ta có: Bạn Cần Biết

    5 / 5 ( 1 bình chọn )