Hàm bậc 4 có 3 cực trị là dạng bài rất hay và thú vị trong các bài thi. Việc tìm m để hàm số có 3 cực trị đòi hỏi sự am hiểu về đạo hàm và các công thức liên quan. Nhờ khả năng giải quyết bài toán này, chúng ta có thể vận dụng vào nhiều bài tập mô hình thực tế. Hiểu rõ về hàm bậc 4 và cách tìm m để có 3 cực trị sẽ giúp chúng ta hoàn thành tốt các bài thi và nắm vững kiến thức.
Mục lục bài viết
1. Định nghĩa cực trị của hàm số bậc 4:
Cho hàm số bậc 4 : y = f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e với a ≠ 0
+) Đạo hàm y′ = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
+) Hàm số y=f(x) có thể có một hoặc ba cực trị .
+) Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm y′ đổi dấu
Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e với a ≠ 0
Số điểm cực trị của hàm bậc 4
– Xét đạo hàm y′ = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
+) Nếu y′=0 có đúng 1 nghiệm thì hàm số y= f(x) có đúng 1 cực trị ( có thể là cực đại hoặc cực tiểu ).
+) Nếu y′=0 có 2 nghiệm (gồm 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép) thì hàm số y= f(x) có đúng 1 cực trị ( có thể là cực đại hoặc cực tiểu ).
+) Nếu y′=0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y= f(x) có 3 cực trị ( gồm cả cực đại và cực tiểu ).
Một số điều kiện xét điểm cực tiểu, cực đại của hàm số bậc 4 trùng phương
– Xét hàm số bậc 4 : y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c với a ≠ 0
Ta có: http://y′ = 4ax^3 + 2bx = 0
<=> x = 0 hoặc x2 = -b/ 2a Khi đó:
Hàm số có một cực trị <=> -b/ 2a > 0 hoặc -b/ 2a = 0
Hàm số có ba cực trị <=> -b/ 2a < 0 <=> ab < 0
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu thì: a > 0 và B > 0 hoặc B = 0
Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại thì: a > 0 và B < 0 hoặc B = 0
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại thì: a > 0 và b < 0
Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu thì: a > 0 và b > 0
2. Tìm m để hàm trùng phương bậc 4 có 3 điểm cực trị?
– Tìm m để hàm số có 3 cực trị : Trước hết chúng ta cần giải thích 1 chút về từ ngữ. Ở đầu bài viết có viết “tìm m để hàm số có ba cực trị”. Viết như vậy không được chính xác với khái niệm của sách giáo khoa. Vì điểm cực trị của hàm số khác với cực trị của hàm số. Chính xác thì hàm trùng phương bậc 4 chỉ có tối đa 2 cực trị. Và bài toán phải phát biểu lại là “tìm m để hàm số có ba điểm cực trị (hoặc 2 cực trị)”. Sau đây là điều kiện để hàm số trùng phương có 2 cực trị:
Bước 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b
y′=0 ⇔ x=0
hoặc g(x) = 2ax2 + b = 0 ⇔ x2 = -2ab
Để hàm số có 3 cực trị ⇔ [y′=0] có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt và khác 0
⇒ m ϵ D(∗)
Nhận xét: Phương trìnhy′=0 luôn có một nghiệm x = 0 và đồ thị hàm số ban đầu là hàm chẵn, nên các điểm cực trị đối xứng nhau qua Oy.
Giả sử ba điểm cực trị là A ∈ Oy, B và C đối xứng nhau qua Oy.
Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số. Giải phương trình này ta được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x4 + m 3√3×2 + m + 2 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Lời giải:
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = 98x4 + 3(m−2017)x2 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều.
Cách giải: Với a = 98, b = 3(m−2017)
Ta có: 24a + b3 = 0 ⇒ b3 = −27 ⇒ m = 2016
– Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị hàm trùng phương:
Tìm m để hàm số có ba cực trị: Diện tích tam giác ABC
3. Bài tập về tìm m để hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị:
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = -2x4 + (3m – 6)x2 + 3m – 5 có ba điểm cực trị.
Lời giải
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ -2(3m – 6) < 0 ⇔ (3m – 6) > 0 ⇔ m > 2
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m – 1)x4 + 2x2 + 3 có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Lời giải
Hàm số đã cho có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu: m – 1 < 0 và 2 > 0 <=> m < 1
Bài 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y = 2x4 + (m2 – 3m – 4)x2 + m – 1 có 3 điểm cực trị.
A. 32
B. 16
C. 25
D. 36
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ 2(m2 – 3m – 4) < 0 ⇔ m2 – 3m – 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4
Do m nguyên nên m ∈ {0;1;2;3}
⇒ S = {0;1;2;3} nên S có 4 phần tử Vậy số tập con của tập S là 24 = 16 (tập hợp)
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m – 1)x4 + (m2 + 3m + 2)x2 + 1 có 3 điểm cực trị
Lời giải
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ (m – 1)(m2 + 3m + 2) < 0 ⇔ (m – 1)(m + 1)(m + 2) < 0
Giải bất phương trình ta có m < -2 hoặc -1 < m < 1
Bài 5: Gọi P là tập hợp của tất cả các giá trị nguyên m để hàm số sau đây: y = 2x4 + (m2 – 3m – 4)x2+ m – 1 sẽ có 3 điểm cực trị. Tính tất cả số các tập con của tập P.
A. 31
B. 16
C. 23
D. 34
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng: B
Hàm số đã cho sẽ có 3 điểm cực trị ⇔ 2(m2 – 3m – 4) < 0 ⇔ m2 – 3m – 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4
Do m lấy giá trị nguyên nên m ∈ {0;1;2;3} ⇒ S = {0;1;2;3} nên P có 4 phần tử
Vậy số tập con của tập P là 24 = 16 (tập hợp)
Bài 6: Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đây: y = (m – 1)x4 + (m2 + 3m + 2)x2 + 1 sẽ có 3 điểm cực trị
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho sẽ có 3 điểm cực trị ⇔ (m – 1)(m2 + 3m + 2) < 0 ⇔ (m – 1)(m + 1)(m + 2) < 0
Giải bất phương trình ra ta có: m < -2 và -1 < m < 1
Bài 7: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số sau đây: y = (m – 1)x4 + 2x2 + 3 sẽ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết
Hàm số đã cho sẽ có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu:
m – 1< 0 và 2 > 0 <=> m < 1
Bài 8: Hãy tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = -2x4 + (3m – 6)x2 + 3m – 5 có 3 điểm cực trị.
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho sẽ có 3 điểm cực trị ⇔ -2(3m – 6) < 0 ⇔ (3m – 6) > 0 vậy m > 2 thỏa mãn điều kiện.
Bài 10: Tìm m để hàm số y = x4 + (m + 2015)x2 + 5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
Lời giải chi tiết: Với a = 1, b = m + 2015.
Ta có: 8a + b3 = 0 ⇒ b3 = −8 ⇒ m = −2017
Bài 11: Cho hàm số y = -x4 + m 3√3x2 + m + 2
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
