Qua việc áp dụng GTLN và GTNN của hàm số vào bài toán thực tế, chúng ta có thể tối ưu hóa các quyết định và đưa ra các giải pháp hiệu quả. Việc tìm GTLN và GTNN không chỉ giúp chúng ta tìm ra giá trị tối ưu trong bài toán, mà còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về đặc điểm và biểu đồ của hàm số.
Mục lục bài viết
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
Phương pháp giải
Dựa vào điều kiện:
Dấu bằng xảy ra khi A = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải:
Dấu bằng xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải và đáp án
Ví dụ 3:
Dấu bằng xảy ra khi 2×2 = 0 ⇔ x = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √3 khi x = 0
Dấu bằng xảy ra khi 2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x = -1/2.
Ví dụ 4:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là √2 – 12, đạt được khi x = 4.
b)
⇒ B ≥ √4 + 2010 = 2012
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2012, đạt được khi 
3. Phương pháp giải dạng bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn
Phương pháp 1. Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm và hằng số:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành tổng của một số không âm, một hằng số và một số thừa số không âm khác để tăng giá trị biểu thức.
Còn đối với giá trị lớn nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành hiệu của một số không âm, một số không âm khác và một hằng số để tăng giá trị biểu thức.
Phương pháp 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
Cho hai số a, b không âm. Theo bất đẳng thức Cosi học sinh cần chứng minh theo công thức:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Nhận xét:
Tích của hai số a và b trong căn có giá trị không đổi thì tổng hai số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Ngược lại, tổng của hai số a và b có giá trị không đổi thì tích của hai số đó đạt trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b. Điều này có nghĩa là nếu giá trị tích của hai số trong căn là cố định, thì để đạt được tổng nhỏ nhất, hai số phải bằng nhau. Tương tự, nếu giá trị tổng của hai số là cố định, thì để đạt được tích lớn nhất, hai số cũng phải bằng nhau.
Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Theo công thức bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh cần chứng minh:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích A và B bằng 0.
4. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Điều kiện để xác định x>=0
Để A đạt giá trị lơn nhất thì 
đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có 
Dấu “=” xảy ra 
Min
Vậy Max 
Bài 2. Cho biểu thức 
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
b. 
với x>0, x#1
Với x>0, x#1, áp dụng bất đẩng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra 
(thỏa mãn)
Vậy max 
Bài 3: Cho biểu thức 
với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải:
b, Có 
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min 
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải:
Dấu bằng xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3.
Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.
Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a. 
b. 
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
a. 
b. 
c. 
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức: 
. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Các dạng bài tập thường gắp
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn xác định.
Phương pháp: Để tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b], chúng ta có thể thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi trong đoạn [a, b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi trong đoạn [a, b] mà f'(x) không xác định.
Bước 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm f(a), f(b), f(xi), f(αi).
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận về GTLN và GTNN như sau:
GTLN: Là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [a, b]. Ta so sánh các giá trị f(a), f(b), f(xi), f(αi) và chọn giá trị lớn nhất là GTLN.
GTNN: Là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a, b]. Ta so sánh các giá trị f(a), f(b), f(xi), f(αi) và chọn giá trị nhỏ nhất là GTNN.
Lưu ý:
Nếu không tồn tại giá trị f’(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định trên đoạn [a, b], ta không thể tìm được GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Đối với bài toán tìm GTLN và GTNN trên một khoảng, cách thực hiện tương tự như trên.
Mong rằng những thông tin trên đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn xác định.
Dạng 2. Ứng dụng Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế.
Trong bài toán số học và đại số, chúng ta thường gặp các tình huống cần tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế. Để làm được điều này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp xác định GTLN và GTNN của hàm số.
Bước 1: Từ các điều kiện của bài toán, chúng ta có thể xây dựng một hàm số tương ứng. Hàm số này thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong bài toán và giúp chúng ta tìm ra giá trị tối đa và giá trị tối thiểu của biến đó.
Bước 2: Sau khi xây dựng hàm số, chúng ta cần tìm tập xác định của hàm số đó. Tập xác định là miền giá trị mà biến độc lập có thể đạt được trong hàm số. Việc xác định tập xác định giúp chúng ta biết rõ giới hạn của biến và là cơ sở để tìm GTLN và GTNN.
Bước 3: Tiếp theo, chúng ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã xây dựng trên tập xác định của nó, sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán. GTLN là giá trị lớn nhất mà hàm số có thể đạt được trên tập xác định, trong khi GTNN là giá trị nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được trên tập xác định.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn trong phạm vi số thực. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng phương pháp thử và sai để kiểm tra các giá trị gần đúng của biểu thức và so sánh chúng để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chính xác nhất.
