Quy trình GARCH là gì? Đặc điểm và Ví dụ về mô hình GARCH

1. Quy trình GARCH là gì?

Bởi vì các mô hình ARCH (p) rất khó ước tính và vì chúng phân rã rất chậm, bốn năm sau khi Engel giới thiệu quy trình ARCH, (Bollerslev, 1986), đã đề xuất mô hình ARCH tổng quát (GARCH) như một giải pháp tự nhiên cho vấn đề các đơn đặt hàng ARCH cao. Mô hình này dựa trên đặc điểm kỹ thuật ARCH vô hạn và nó cho phép giảm đáng kể số lượng thông số ước tính từ một số vô hạn xuống chỉ còn một vài.

Trong mô hình GARCH của Bollerslev, phương sai có điều kiện là một hàm tuyến tính của các đổi mới bình phương trong quá khứ và các phương sai có điều kiện được tính toán trước đó. Mô hình GARCH đã trở nên phổ biến hơn, bởi vì chỉ với một vài tham số, nó có thể khớp với dữ liệu tốt hơn so với mô hình ARCH được tham số hóa nhiều hơn.
Trong những năm qua, dòng GARCH đã trở nên hiệu quả hơn trong việc điều chỉnh dữ liệu biến động vì chúng bao gồm thời điểm thứ hai để đo lường biến thể thời gian của dữ liệu biến động. Các nghiên cứu ban đầu của (Engle, 1982) và (Bollerslev, 1986) hóa ra là mô hình tốt hơn cho dữ liệu biến động (tài chính) khi phần còn lại của dạng dữ liệu béo hơn ở phía sau.

Ý tưởng chính của mô hình GARCH là phương sai có điều kiện của lợi nhuận cho trước thông tin có sẵn cho đến thời điểm t-1, có cấu trúc tự phục hồi và có tương quan thuận với quá khứ gần đây của chính nó và với các giá trị gần đây của lợi nhuận bình phương. Điều này nắm bắt ý tưởng về sự biến động (phương sai có điều kiện) là liên tục, có nghĩa là các giá trị lớn (nhỏ) r_{t ²}  có khả năng được theo sau bởi các giá trị lớn (nhỏ).

2. Đặc điểm của quy trình GARCH:

Chế độ thay đổi theo phương sai có điều kiện: Trong hầu hết các mô hình GARCH được sử dụng rộng rãi, phương sai có điều kiện được định nghĩa là một hàm tuyến tính của phương sai có điều kiện trễ và lợi nhuận bình phương trong quá khứ. Về mặt hình thức, hãy gọi r_t là một chuỗi trả về, ε_t đây là một loạt các đổi mới thường được giả định là phân phối giống nhau độc lập biến ngẫu nhiên trung bình bằng 0, σ²t phương sai của r_t thông tin đã cho tại thời điểm t

Biến ngưỡng ngoại sinh và nội sinh: Ngoài việc kết hợp tính phi tuyến tính trong mô hình GARCH ngưỡng, biến ngưỡng hoặc biến kích hoạt còn tính đến ảnh hưởng của mối tương quan giữa phương sai có điều kiện và các biến quan sát khác đại diện cho các hoạt động giao dịch. Việc sử dụng mô hình ngưỡng đặc biệt được thúc đẩy bởi mối quan hệ khối lượng biến động.

Mô hình này cũng là trung bình có trọng số của các phần dư bình phương trong quá khứ nhưng nó có trọng số giảm dần và không bao giờ hoàn toàn về 0. Nó cung cấp các mô hình phân tích dễ ước lượng và thậm chí ở dạng đơn giản nhất, đã chứng tỏ thành công đáng ngạc nhiên trong việc dự đoán các phương sai có điều kiện. Đặc điểm kỹ thuật GARCH được sử dụng rộng rãi nhất, khẳng định rằng yếu tố dự đoán tốt nhất về phương sai trong kỳ tiếp theo là trung bình có trọng số của phương sai trung bình dài hạn, phương sai được dự đoán cho giai đoạn này và thông tin mới trong giai đoạn này là phần dư bình phương gần đây nhất. Quy tắc cập nhật như vậy là một mô tả đơn giản về hành vi thích nghi hoặc học tập và có thể được coi là cập nhật Bayes.

Mô hình GARCH đã được mô tả thường được gọi là mô hình GARCH (1,1). (1,1) trong dấu ngoặc đơn là ký hiệu tiêu chuẩn trong đó số đầu tiên đề cập đến số độ trễ tự động khôi phục hoặc số hạng ARCH xuất hiện trong phương trình, trong khi số thứ hai đề cập đến số độ trễ trung bình động được chỉ định mà ở đây thường được gọi là số lượng điều khoản GARCH. Đôi khi, các mô hình có nhiều hơn một độ trễ là cần thiết để tìm ra dự báo phương sai tốt.

Mặc dù mô hình này được thiết lập trực tiếp để dự báo chỉ cho một giai đoạn, nhưng thực tế là dựa trên dự báo một giai đoạn có thể đưa ra dự báo cho hai giai đoạn. Cuối cùng, bằng cách lặp lại bước này, có thể xây dựng các dự báo về đường chân trời dài. Đối với GARCH (1,1), dự báo hai bước gần với phương sai trung bình dài hạn hơn một chút so với dự báo một bước và cuối cùng, dự báo đường chân trời xa là giống nhau trong mọi khoảng thời gian miễn là α + β < 1. Đây chỉ là phương sai vô điều kiện. Do đó, các mô hình GARCH có nghĩa là hoàn nguyên và phương sai thay đổi có điều kiện nhưng có phương sai không điều kiện không đổi.

Bây giờ tôi chuyển sang câu hỏi làm thế nào mà nhà kinh tế lượng có thể ước lượng một phương trình như GARCH (1,1) khi biến duy nhất có dữ liệu là r_t. Câu trả lời đơn giản là sử dụng Khả năng tối đa bằng cách thay thế h_t trong 2 s theo khả năng bình thường và sau đó tối đa hóa theo các tham số.

Đối với bất kỳ tập hợp tham số ω, α , β và ước lượng ban đầu nào cho phương sai của lần quan sát đầu tiên, thường được coi là phương sai quan sát được của các phần dư, dễ dàng tính được phương sai dự báo cho lần quan sát thứ hai. Công thức cập nhật GARCH lấy trung bình có trọng số của phương sai không điều kiện, phần dư bình phương cho lần quan sát đầu tiên và phương sai ban đầu và ước tính phương sai của lần quan sát thứ hai. Đây là đầu vào cho dự báo của phương sai thứ ba, v.v. Cuối cùng, toàn bộ chuỗi thời gian của các dự báo phương sai được xây dựng. Lý tưởng nhất là chuỗi này lớn khi phần dư lớn và nhỏ khi chúng nhỏ. Hàm khả năng cung cấp một cách có hệ thống để điều chỉnh các tham số ω, α , β sao cho phù hợp nhất.

3. Ví dụ về quy trình GARCH:

Các ứng dụng của phương pháp ARCH / GARCH được phổ biến rộng rãi trong các tình huống mà sự biến động của lợi nhuận là vấn đề trọng tâm. Nhiều ngân hàng và các tổ chức tài chính khác sử dụng khái niệm “Giá trị rủi ro” như một cách để đo lường rủi ro mà danh mục đầu tư của họ phải đối mặt. Giá trị rủi ro 1% được định nghĩa là số đô la mà một người có thể chắc chắn 99 phần trăm vượt quá bất kỳ khoản lỗ nào trong ngày hôm sau. Các nhà thống kê gọi đây là định lượng 1% vì 1% kết quả tồi tệ hơn và 99% là tốt hơn. Hãy sử dụng công cụ GARCH (1,1) để ước tính Giá trị rủi ro 1 phần trăm của danh mục đầu tư 1.000.000 đô la vào ngày 23 tháng 3 năm 2000. Danh mục đầu tư này bao gồm 50 phần trăm Nasdaq, 30 phần trăm Dow Jones và 20 phần trăm trái phiếu dài1. Ngày này được chọn là ngay trước khi thị trường lớn trượt dốc vào cuối tháng Ba và tháng Tư. Đó là thời điểm có nhiều biến động và lo lắng lớn.

Ba hệ số trong phương trình phương sai được liệt kê là C là điểm chặn, ARCH (1) độ trễ đầu tiên của lợi nhuận bình phương và GARCH (1), độ trễ đầu tiên của phương sai có điều kiện. Lưu ý rằng các hệ số tổng hợp thành một số nhỏ hơn một số được yêu cầu để có phương sai hoàn nguyên trung bình tiến trình. Vì tổng rất gần bằng một, quá trình này chỉ có nghĩa là hoàn nguyên chậm. Lỗi tiêu chuẩn, thống kê Z (chỉ đơn giản là tỷ lệ của hệ số và sai số tiêu chuẩn) và giá trị p hoàn thành bảng.

Áp dụng thử nghiệm tương tự cho tự tương quan, bây giờ chúng ta thấy các giá trị p nằm trong khoảng 0,5 trở lên cho thấy rằng chúng ta có thể chấp nhận giả thuyết “không có ARCH dư”. Độ lệch chuẩn dự báo cho ngày tiếp theo là 0,0146, gần gấp đôi độ lệch chuẩn trung bình là 0,0083 được trình bày trong cột cuối cùng của Bảng 1. Nếu phần dư được phân phối bình thường, thì giá trị này sẽ được nhân với 2,327 vì 1% của a biến ngẫu nhiên bình thường nằm dưới 2,327 độ lệch chuẩn dưới mức trung bình. Giá trị rủi ro bình thường = $ 33,977. Hóa ra, phần dư chuẩn hóa, là giá trị ước tính của {et}, không gần với giá trị bình thường. Chúng có định lượng 1% là 2,844, phản ánh phần đuôi béo của phân phối giá tài sản. VaR 1% ước tính là $ 39,996. Lưu ý Giá trị rủi ro này đã tăng lên bao nhiêu để phản ánh rủi ro gia tăng trong năm 2000.

Cuối cùng, Giá trị rủi ro có thể được tính toán chỉ dựa trên ước tính số lượng của phân phối dự báo. Điều này gần đây đã được đề xuất bởi Engle và Manganelli (2000) phỏng theo phương pháp hồi quy lượng tử của Koenker và Basset (1978) và Koenker và Basset (2001) trong hội nghị chuyên đề này. Việc áp dụng phương pháp của họ cho tập dữ liệu này mang lại Giá trị rủi ro = $ 38,228.