Tập hợp các số hữu tỉ giúp các bạn học sinh lớp 7 nắm được định nghĩa số hữu tỉ, mối quan hệ giữa các tập hợp số đã học với tập số hữu tỉ và cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. Từ đó nhận biết số hữu tỉ và biểu diễn được số hữu tỉ trên trục số, biết cách so sánh, nhận biết được số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và tìm điều kiện để số hữu tỉ là số âm (dương).
Mục lục bài viết
1. Q là tập hợp số gì?
Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên với b # 0. Tập hợp các số hữu tỉ, hay còn gọi là trường số hữu tỉ, có ký hiệu là Q.
Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng a/b với a, b ∈ Z,b ≠ 0 và được kí hiệu là Q.
Tập hợp số hữu tỉ Q gồm:
Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.2 (⅕),…
Số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0.16666… (⅙), 0.3333… (⅓),…
Tập hợp số nguyên (Z): -2, -1, 0, 1, 2,…
Tập hợp số tự nhiên (N): 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
Tập hợp q là số hữu tỉ, vậy số hữu tỉ là những số nào? Trong toán học sẽ có 2 loại số hữu tỉ, bao gồm số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương. Cụ thể:
Số hữu tỉ âm: Bao gồm những số hữu tỉ nhỏ hơn 0
Số hữu tỉ dương: Bao gồm những sổ hữu tỉ lớn hơn 0
Lưu ý: số 0 không phải là số hữu tỉ âm và cũng không phải là số hữu tỉ dương.
2. Lý thuyết tập hợp Q các số hữu tỉ?
2.1. Số hữu tỉ là gì?
– Các phân số bằng nhau là cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ.
– Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a/b với a, b ∈ Z và b ≠ 0
– Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q (x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q)
Ví dụ: 2, 1/3, -6/7, 9/3, 4/5,…. là các số hữu tỉ.
2 = 4/2 = 6/3 = 8/4 = 10/5 =…
1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 =…
-6/7 = -12/14 = -24/28 = -48/56 =…
9/3 = 3 = 27/9 = 36/12 =…
4/5 = 8/10 = 16/20 = 12/15 =…
2.2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số:
Cách biểu diễn số hữu tỉ a/b ( a và b thuộc Z, b khác 0) trên trục số:
Bước 1: Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau. Ta có một phần là 1/b là đơn vị mới.
Bước 2: Xét trường hợp:
a > 0 thì điểm biểu diễn a/b nằm bên phải 0, cách 0 một khoảng a lần đơn vị mới.
a< 0 thì điểm biểu diễn a/b nằm bên trái 0, cách 0 một khoảng |a| lần đơn vị mới.
Điểm biểu diễn a/b được gọi là điểm a/b.
Ví dụ: Biểu diễn 4/3 trên trục số:
Bước 1: Ta chia trục số thành 3 phần bằng nhau. Chọn 1 đoạn làm đơn vị mới bằng 1/3 đơn vị cũ.
Bước 2: Ta biểu diễn số hữu tỉ 4/3 bằng điểm M. Biết 4 > 0 => M nằm bên phải trục số và cách điểm 0 một khoảng bằng 4 đơn vị
2.3. So sánh hai số hữu tỉ:
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương
So sánh hai số nguyên a và b
+ Nếu a < b thì x < y
+ Nếu a = b thì x = y
+ Nếu a > b thì x > y
Trên trục số nếu x < y thì điểm x nằm bên trái điểm y
Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương.
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọc là số hữu tỉ âm.
Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.
Nhận xét:
+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương (a/b > 0) thì a, b cùng dấu.
+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm (a/b < 0) thì a, b trái dấu.
+ Ta có: 
3. Các phép toán cơ bản với số hữu tỉ:
Qua phần kiến thức trên bạn đã nắm được q là tập hợp số gì trong toán. Trong kiến thức số hữu tỉ toán học lớp 7, các em sẽ được làm quen với các phép toán cơ bản với q là số hữu tỉ như sau:
3.1. Phép tính cộng trừ:
Sau đây là các bước mà bạn có thể áp dụng để tính các phép toán cộng trừ với các số hữu tỉ.
Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng, trừ và các tính chất để tính
Quy tắc cộng, trừ: Đưa các số hữu tỉ về cùng mẫu (quy đồng, rút gọn,…) rồi cộng, trừ tử số, giữ nguyên mẫu số.
Tính chất:
Tính chất giao hoán: x + y = y + x
Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)
Tính chất cộng với 0: x + 0 = 0 + x = x
Bước 3: Rút gọn kết quả (nếu có thể)
3.2. Phép tính nhân chia:
Nhân hai số hữu tỉ:
Chia hai số hữu tỉ:
3.3. Công thức toán khác với số hữu tỉ:
Bên cạnh các phép tính cơ bản kể trên, thì các bạn còn cần phải lưu ý một số phép tính và công thức liên quan đến số hữu tỉ thường gặp sau.
Giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được kí hiệu là |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số.
Nếu x > 0 thì |x| = x.
Nếu x = 0 thì |x| = 0.
Nếu x < 0 thì |x| = -x.
Dựa vào định nghĩa trên, công thức xác định giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ như sau:
Công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ:
Các công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ mà bạn cần phải ghi nhớ:
Cách so sánh hai số hữu tỉ
So sánh số hữu tỉ x và y ta thực hiện các bước sau:
Đưa x và y về dạng phân số cùng mẫu số x = a/m, y=b/m (m > 0).
So sánh các tử số với nhau. Xét các trường hợp:
a > b => a/m > b/m => x > y
a < b => a/m < b/m => x < y
a = b => a/m = b/m => x = y
Ví dụ minh họa: So sánh 2/3 và -4/5
Ta có:
2/3 = 10/15
-4/5 = -12/15
Mà 10 > -12
=> 10/15 > -12/15
=> 2/3 > -4/5
Lưu ý
Số hữu tỉ âm là số nhỏ hơn 0.
Sỗ hữu tỉ dương là số lớn hơn 0.
Số 0 không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
4. Bài tập vận dụng kèm lời giải:
Bài 1:So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:
a. -231/232 và -1321/1320
b. -13/38 và 29/-88
c. -1/3 và 1/100
Lời giải:
a. Ta có:
-231/232 < 1 < -1321/1320
=> -231/232 < -1321/1320
b. Ta có: 13/38 > 13/39 = 1/3 = 29/87 > 29/88
=> -13/38 < 29/-88
c. Ta có:
-1/3 < 0 < 1/100
=> -1/3 < 1/100
Bài 2: Tìm x thuộc tập hợp Q, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng 3 chữ số 1.
Lời giải:
Các số hữu tỉ âm được viết bằng 3 chữ số 1 là:
-111; -1/11; -11/1
Ta có: -111 < -11 hay -111 < -11/1 (1)
Lại có: -11/1 = -121/11 < -1/11 (vì -121 < -1) (2)
Từ (1) và (2) -111< -11/1< -1/11
Vậy số x cần tìm là -1/11.
Bài 3: Biểu diễn các điểm A, B, C trên trục số biết A = -1, B = 1, C = 2
Lời giải:
A = -1 => A nằm bên trái điểm 0. A cách điểm 0 một khoảng bằng 1 đơn vị.
B = 1 => B nằm bên phải điểm 0. B cách điểm 0 một khoảng 1 đơn vị.
C = 2 => C nằm bên phải điểm 0. C cách điểm 0 một khoảng 2 đơn vị.
Bài 4: Cho các số hữu tỉ sau: 1/2 , 0 , -5/3, 4/5, -8/4 , 78/99, 12/100, -5/6
a. Số nào là số hữu tỉ âm?
b. Số nào là số hữu tỉ dương?
c. Số nào không là số hữu tỉ âm, không là số hữu tỉ dương?
Lời giải:
a. Số hữu tỉ âm là: -5/3, -8/4, -5/6
b. Số hữu tỉ dương là: 1/2, 4/5, 78/99, 12/100
c. 0 không là số hữu tỉ âm, không là số hữu tỉ dương.
Bài 5: Giải thích lí do các số: 6, 5/2, -3/8, 2/7 là các số hữu tỉ.
Lời giải:
Các số 6, 5/2, -3/8, 2/7 là số hữu tỉ vì có thể biêu diễn dưới dạng phâ số a/b ( a và b thuộc Z, b khác 0).
6 = 12/2 = 18/3 = 24/4 =…
5/2 = 10/4 = 15/6 = 25/10 = …
-3/8 = -6/18 = -12/ 32 = -15/40 = …
2/7 = 4/14 = 6/21 = 8/28 = …
