Một chất hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực phân tích toán học quan trọng với nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Phân tích là nhánh của toán học liên quan đến các giới hạn và các lý thuyết liên quan. Vậy phương pháp phân tích toán học trong quyết định quản lí là gì? Nội dung?
Mục lục bài viết
1. Phương pháp phân tích toán học trong quyết định quản lý là gì?
– Phương pháp phân tích toán học trong quyết định quản lý (Mathematical analysis) chính thức được phát triển vào thế kỷ 17 trong cuộc Cách mạng Khoa học, nhưng nhiều ý tưởng của nó có thể được bắt nguồn từ các nhà toán học trước đó. Các kết quả ban đầu trong phép phân tích đã mặc nhiên xuất hiện trong thời kỳ đầu của toán học Hy Lạp cổ đại. Ví dụ, một tổng hình học vô hạn tiềm ẩn trong nghịch lý của Zeno về sự phân đôi. Sau đó, các nhà toán học Hy Lạp như Eudoxus và Archimedes đã sử dụng các khái niệm giới hạn và hội tụ một cách rõ ràng hơn, nhưng không chính thức hơn khi họ sử dụng phương pháp kiệt để tính diện tích và thể tích của các vùng và chất rắn.
– Việc sử dụng rõ ràng các số ít vô cực xuất hiện trong Phương pháp Định lý Cơ học của Archimedes, một công trình được khám phá lại vào thế kỷ 20. Ở châu Á, nhà toán học Trung Quốc Liu Hui đã sử dụng phương pháp tính kiệt vào thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên để tìm diện tích hình tròn. Từ tài liệu của người Jain, có vẻ như những người theo đạo Hindu đã sở hữu các công thức tính tổng của các chuỗi số học và hình học ngay từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên Ācārya Bhadrabāhu sử dụng tổng của một chuỗi hình học trong Kalpasūtra của mình vào năm 433 trước Công nguyên. Trong toán học Ấn Độ, các trường hợp cụ thể của chuỗi số học đã được tìm thấy một cách hoàn toàn xuất hiện trong Văn học Vệ Đà sớm nhất là vào năm 2000 trước Công nguyên.
– Những lý thuyết này thường được nghiên cứu trong bối cảnh của các số và hàm số thực và phức tạp. Phân tích phát triển từ giải tích, liên quan đến các khái niệm và kỹ thuật phân tích cơ bản. Phân tích có thể được phân biệt với hình học; tuy nhiên, nó có thể được áp dụng cho bất kỳ không gian nào của các đối tượng toán học có định nghĩa về độ gần (không gian tôpô) hoặc khoảng cách cụ thể giữa các đối tượng.
2. Nội dung phương pháp phân tích toán học:
– Lịch sử hình thành: Nguồn gốc lịch sử của phân tích có thể được tìm thấy trong những nỗ lực để tính toán số lượng không gian như chiều dài của một cong đường hoặc khu vực được bao bọc bởi một đường cong. Những vấn đề này có thể được phát biểu thuần túy như những câu hỏi của kỹ thuật toán học, nhưng chúng có tầm quan trọng rộng lớn hơn rất nhiều vì chúng có nhiều cách giải thích trong thế giới vật lý. Ví dụ, diện tích bên trong một đường cong là mối quan tâm trực tiếp trong việc đo đạc đất đai: một khu đất có hình dạng bất thường chứa bao nhiêu mẫu Anh? Nhưng kỹ thuật tương tự cũng xác định khối lượng của một tấm vật liệu đồng nhất được giới hạn bởi một số đường cong đã chọn hoặc lượng sơn cần thiết để phủ một bề mặt có hình dạng bất thường. Ít rõ ràng hơn, những kỹ thuật này có thể được sử dụng để tìm tổng quãng đường di chuyển của một phương tiện di chuyển ở các tốc độ khác nhau, độ sâu mà một con tàu sẽ nổi khi đặt dưới biển hoặc tổng mức tiêu thụ nhiên liệu của một tên lửa.
– Tương tự, kỹ thuật toán học để tìm một đường tiếp tuyến với một đường cong tại một điểm nhất định cũng có thể được sử dụng để tính độ dốc của một ngọn đồi cong hoặc góc mà một chiếc thuyền đang chuyển động phải quay đầu để tránh va chạm. Ít trực tiếp hơn, nó liên quan đến câu hỏi cực kỳ quan trọng về tính toán vận tốc tức thời hoặc các tốc độ thay đổi tức thời khác, chẳng hạn như làm lạnh một vật ấm trong phòng lạnh hoặc sự lan truyền của một sinh vật bệnh qua quần thể người.
– Thu hẹp khoảng cách giữa số học và hình học: Toán học chia hiện tượng thành hai lớp lớn, rời rạc vàliên tục , lịch sử tương ứng với sự phân chia giữa số học và hình học . Cho đến nay, các hệ thống rời rạc chỉ có thể được chia nhỏ và chúng có thể được mô tả dưới dạng các số nguyên 0, 1, 2, 3,…. Các hệ thống liên tục có thể được chia nhỏ vô thời hạn, và mô tả của chúng yêu cầu các số thực, các số được biểu thị bằng mở rộng thập phân như 3,14159…, có thể tồn tại mãi mãi. Hiểu được bản chất thực sự của số thập phân vô hạn như vậy nằm ở trọng tâm của phân tích.
– Phân tích ra đời vì nhiều khía cạnh của thế giới tự nhiên có thể được coi là liên tục – ít nhất là ở mức độ gần đúng tuyệt vời. Một lần nữa, đây là một câu hỏi về mô hình hóa, không phải về thực tế. Vật chất không thực sự liên tục; nếu vật chất được chia nhỏ thành những mảnh đủ nhỏ, thì các thành phần không thể phân chia được, hoặc nguyên tử, sẽ xuất hiện. Nhưng các nguyên tử cực kỳ nhỏ, và đối với hầu hết các ứng dụng, việc coi vật chất như thể nó là một thể liên tục dẫn đến sai số không đáng kể trong khi đơn giản hóa việc tính toán một cách đáng kể . Ví dụ, mô hình hóa liên tục là thực hành kỹ thuật tiêu chuẩn khi nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng như không khí hoặc nước, sự uốn cong của vật liệu đàn hồi, sự phân bố hoặc dòng chảy của dòng điện và dòng nhiệt.
3. Phân tích toán học như thế nào?
– Phương pháp tiếp cận của Newton và Leibniz đối với phép tính chủ yếu là hình học, liên quan đến các tỷ lệ với ước số “gần như bằng không” – “thông lượng” của Newton và “số lượng nhỏ” của Leibniz. Trong suốt thế kỷ 18, giải tích ngày càng trở thành đại số, khi các nhà toán học – đáng chú ý nhất là Leonhard Euler người Thụy Sĩ và người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange – bắt đầu khái quát hóa các khái niệm về tính liên tục và giới hạn từ các đường cong hình học và cơ thể đến các hàm đại số trừu tượng hơn và bắt đầu mở rộng những ý tưởng này đến số phức. Mặc dù những phát triển này không hoàn toàn thỏa đáng từ quan điểm cơ bản, nhưng chúng là nền tảng cho sự hoàn thiện cuối cùng của cơ sở chặt chẽ cho phép tính bởi người Pháp Augustin-Louis Cauchy , người Bohemian.Bernhard Bolzano , và hơn hết là Karl Weierstrass của Đức vào thế kỷ 19.
– Các phương trình vi phân phát sinh trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ, đặc biệt là bất cứ khi nào một quan hệ xác định liên quan đến một số đại lượng thay đổi liên tục (được mô hình hóa bởi các hàm) và tốc độ thay đổi của chúng theo không gian hoặc thời gian (được biểu thị dưới dạng đạo hàm) được biết hoặc công nhận. Điều này được minh họa trong cơ học cổ điển, trong đó chuyển động của một vật được mô tả bằng vị trí và vận tốc của nó khi giá trị thời gian thay đổi. Các định luật của Newton cho phép một người (với vị trí, vận tốc, gia tốc và các lực khác nhau tác động lên vật thể) biểu diễn các biến số này một cách linh động dưới dạng một phương trình vi phân cho vị trí chưa biết của vật thể dưới dạng hàm thời gian. Trong một số trường hợp, phương trình vi phân này (được gọi là phương trình chuyển động) có thể được giải một cách rõ ràng.
