Mục lục bài viết
1. Phân số tối giản là gì?
Phân số tối giản là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực học về phân số. Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số không có ước chung lớn hơn 1. Nói một cách đơn giản, khi tử số và mẫu số của một phân số không thể rút gọn được bằng cách chia cả hai số đó cho một số nguyên dương lớn hơn 1, ta gọi phân số đó là phân số tối giản.
Để tìm phân số tối giản của một phân số, chúng ta thường sử dụng quy tắc đơn giản nhất là chia cả tử số và mẫu số cho ước số chung lớn nhất của chúng. Bằng cách làm này, ta thu được một phân số mới có giá trị tương đương nhưng đã được rút gọn tối giản.
Ví dụ, xét phân số 2436. Để rút gọn phân số này, chúng ta tìm ước số chung lớn nhất của 24 và 36, đó là 12. Sau khi chia cả tử số và mẫu số cho 12, ta được phân số tối giản là 2436=24÷1236÷12=23.
Phân số tối giản giúp chúng ta làm việc với các phép tính phân số dễ dàng hơn, giữ cho số liệu trong phân số trở nên nhỏ gọn và dễ quản lý. Đồng thời, nó cũng giúp chúng ta nhận biết được mối quan hệ giữa các phân số và tính toán chúng một cách hiệu quả.
Nhìn chung, việc hiểu và áp dụng khái niệm về phân số tối giản không chỉ quan trọng trong toán học mà còn hữu ích trong nhiều tình huống thực tế, từ việc chia đều số lượng đồ vật cho đến các vấn đề tài chính phức tạp.
2. Cách rút gọn về phân số tối giản?
Rút gọn phân số là quá trình làm cho phân số trở nên đơn giản hơn bằng cách viết lại với tử số và mẫu số không có ước chung nào lớn hơn 1. Quá trình này giúp làm cho các phép tính phân số trở nên dễ dàng hơn và giúp nhận biết được mối quan hệ giữa chúng.
Để rút gọn phân số, ta thường sử dụng quy tắc chia cả tử số và mẫu số cho ước số chung lớn nhất của chúng. Bằng cách này, ta thu được một phân số tương đương nhưng đã được viết dưới dạng tối giản.
Rút gọn phân số không chỉ quan trọng trong các bài toán toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Ví dụ, trong kinh doanh, việc rút gọn tỷ lệ hoặc phần trăm giúp dễ dàng so sánh và phân tích dữ liệu, làm cho thông tin trở nên dễ hiểu và quản lý hơn.
2.1. Cách 1 – Sử dụng thừa số chung lớn nhất:
Bước 1: Liệt kê các thừa số của cả tử và mẫu số từ nhỏ đến lớn, bao gồm cả 1 hoặc chính nó. Thừa số ở đây chính là số mà khi bạn nhân chúng với nhau sẽ được số khác, ví dụ 2 và 5 là hai thừa số của 10, vì ta có thể nhân chúng lại với nhau để có kết quả là 10.
Ví dụ, liệt kê thừa số chung của phân số 24/32:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Bước 2: Tìm thừa số chung lớn nhất (GCF) của tử và mẫu số. GCF chính là số lớn nhất mà các số có thể đều chia hết. Sau khi đã tìm và liệt kê các thừa số ở bước 1, sau đó bạn phải tìm ra GCF của hai số đó.
Chẳng hạn:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Lúc này GCF của 24 và 32 là 8, vì 8 là số lớn nhất mà cả 24 và 32 đều chia hết cho.
Bước 3: Tiến hành chia và tử và mẫu cho GCF. Sau khi đã tìm được GCF ở bước 2, ta tiến hành chia cả tử và mẫu số cho số đó để đưa chúng về phân số tối giản.
Ta có:
24/8 = 3
32/8 = 4
Lúc này phân số được rút gọn là 3/4.
Bước 4: Kiểm tra kết quả. Để chắc chắn hơn việc phân số đã được rút gọn, mọi người tiến hành kiểm tra bằng cách nhân nhân tử và mẫu số vừa rút gọn cho GCF, nếu ra kết quả phân số ban đầu thì chính xác.
Cụ thể:
3 * 8 = 24
4 * 8 = 32
Lúc này, kết quả chính là phân số ban đầu 24/32.
2.2. Cách 2 – Chia liên tiếp cho một số nhỏ:
Bước 1: Lựa chọn một số nhỏ. Cụ thể, ở cách rút gọn phân số này các em sẽ chọn một chữ số nhỏ như 2, 3, 4… để bắt đầu. Nhìn xem phần tử và mẫu số có chia được hết ít nhất một lần cho số mà bé đã chọn hay không.
Ví dụ, phân số 24/32, số 2 là thích hợp nhất vì cả 24 và 32 đều là số chẵn, có thể chia hết cho 2.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu số cho số nhỏ nhất đã chọn. Sau khi đã tìm được số nhỏ nhất để chia ở bước 1, ta tiến hành chia cả tử và mẫu cho số đó.
Cụ thể:
24/2 = 12
32/2 = 16
Lúc này ta được phân số mới 12/16.
Bước 3: Lặp lại quá trình này. Nếu cả tử và mẫu đều vẫn chia tiếp được cho số nhỏ đã chọn đó, ta tiếp tục thực hiện lại bước 2. Nếu chỉ một hoặc cả 2 là số lẻ thì sẽ phải tìm số nhỏ khác và chia chúng cho số mới đó.
12/2 = 6
16/2 = 8
Phân số mới là 6/8.
Bước 4: Tiếp tục chia cả tử và mẫu cho số đó cho đến khi không thể chia thêm nữa. Ở đây nếu cả tử và mẫu số mới vẫn là số chẵn, ta tiếp tục chia tiếp cho 2 cho đến khi không thể chia thêm được nữa.
Cụ thể:
6/2 = 3
8/2 = 4
Ta được phân số mới là 3/4.
Bước 5: Hãy đảm bảo phân số mới không thể rút gọn được nữa. Có nghĩa phân số mới đó chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó thì đó là phân số đã được tối giản. Chẳng hạn ở phân số ¾ ta không thể chia hết được cho số nào nữa ngoài trừ nó và 1 thì phân số đã được rút gọn.
Bước 6: Kiểm tra lại kết quả. Ta sẽ nhân ¾ với 2/2 ba lần để xem có ra được kết quả là phân số ban đầu là 24/32 không nhé.
Cụ thể:
3/4 * 2/2 = 6/8
6/8 * 2/2 = 12/16
12/16 * 2/2 = 24/32.
Lưu ý: Các em đã chia 24/32 cho 3 lần 2 có nghĩa là 2 x 2 x 2 tương ứng với việc chia nó cho 8, đây chính là GCF của cả tử và mẫu. Đây là cách rút gọn phân số khá rườm rà hơn với cách 1, nhưng sẽ giúp các bé hiểu được bản chất khi thực hiện phép tính.
2.3. Cách 3 – Liệt kê các thừa số:
Bước 1: Viết ra phân số cần rút gọn. Phần này các em hãy để một khoảng trống bên phải để viết ra các thừa số.
Bước 2: Tiến hành liệt kê các thừa số của các tử và mẫu. Bắt đầu từ 1 và những thừa số tiếp theo sẽ liệt kê thành từng cặp.
Chẳng hạn: Cho phân số 24/60
Thừa số 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Thừa số 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Bước 3: Chọn và chia cả tử và mẫu cho thừa số chung lớn nhất. Trong danh sách các thừa số đã tìm ở bước 2, các em tiến hành chọn số lớn nhất xuất hiện ở trong các thừa số của cả tử và mẫu số cho số đó.
Như ví dụ trên, ta thấy cả tử và mẫu có GCF chính là 12. Lúc này, ta sẽ chia 24 cho 12 và 60 chia 12. Lúc này kết quả là 2/5 là phân số đã được rút gọn.
2.4. Cách 4 – Sử dụng sơ đồ cây thừa số nguyên tố:
Bước 1: Tìm thừa số nguyên số của tử và mẫu số của phân số. Số nguyên tố chính là số không chia được cho số nào khác ngoài 1 và chính nó như 2, 3, 5, 7, 11.
Cũng ở ví dụ 24/60.
Đầu tiên, ta bắt đầu với tử số. Từ 24 chia thành 2 nhánh là 2 và 12 (2 x 12 = 24). Vì 2 là số nguyên tố nên nhánh đó đã hoàn thành. Tiếp tục ở nhánh 12 tách thành 2 số khác là 2 và 6. Tiếp tục 2 là số nguyên tố nên đã xong, giờ tiếp tục tìm số nguyên tố của 6 là 2 và 3. Lúc này ta có nhanh 2, 2, 2 và 3 là các số nguyên tố cần tìm của 24.
Chuyển sang mẫu số là 60. Đầu tiên ta phân nhánh cây thành 2 và 30. Nhánh 2 đã xong, chuyển sang 20 sẽ được 2 và 15. Tiếp tục ở nhánh 15 ta chia thành nhánh 3 và 5, cả hai đều là số nguyên tố. Nên kết quả ta được 2, 2, 3 và 5 là số nguyên tố của 60.
Bước 2: Viết kết quả thành thừa số nguyên tố của tử và mẫu số. Ta sẽ liệt kê các thừa số nguyên tố của cả tử và mẫu, viết chúng dưới dạng phép nhân để kiểm tra kết quả chính xác.
Với 24, ta có 2 x 2 x 2 x 3 = 24.
Với 60, ta có 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Bước 3: Gạch bỏ các thừa số chung. Bất kỳ số nào mà xuất hiện ở cả tử và mẫu thì bạn sẽ gạch bỏ. Ở vì dụ trên ta thấy có hai số 2 và một 3 là các số chung nhau. Lúc này ta còn lại 2 và 5 hay 2/5 chính là phân số rút gọn của 24/60
3. Bài tập vận dụng:
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Phân số tối giản là phân số:
A. Có tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên lớn hơn 1
B. Có tử số bằng 1 và mẫu số tùy ý
C. Có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1
D. Có tử số tùy ý và mẫu số bằng 1
II. Bài tập tự luận
Hướng dẫn giải bài tập về rút gọn phân số
I. Bài tập trắc nghiệm
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 | Câu 5 |
| C | C | D | A | D |
II. Bài tập tự luận
Bài 3:
b, 
c, 
