Phân phối đa thức là gì? Đặc điểm Phân phối đa thức

1. Phân phối đa thức là gì?

Trong tiếng Anh phân phối đa thức được gọi với tên tiếng Anh đó chính là Multinomial Distribution.

Phân phối đa thức là loại phân phối xác suất được sử dụng trong tài chính để xác định những thứ như khả năng một công ty sẽ báo cáo thu nhập tốt hơn mong đợi trong khi các đối thủ cạnh tranh báo cáo thu nhập đáng thất vọng. Thuật ngữ này mô tả việc tính toán kết quả của các thử nghiệm liên quan đến các sự kiện độc lập có hai hoặc nhiều kết quả có thể có, được xác định. Phân phối nhị thức được biết đến rộng rãi hơn là một loại phân phối đa thức đặc biệt trong đó chỉ có hai kết quả có thể xảy ra, chẳng hạn như đúng / sai hoặc đầu / đuôi.

Trong một số lĩnh vực như xử lý ngôn ngữ tự nhiên, phân phối phân loại và đa thức đồng nghĩa với nhau và người ta thường nói đến phân phối đa thức khi phân phối loại thực sự có nghĩa. Điều này xuất phát từ thực tế là đôi khi thuận tiện để biểu thị kết quả của phân phối phân loại dưới dạng vectơ “1-K” (vectơ có một phần tử chứa 1 và tất cả các phần tử khác chứa 0) hơn là một số nguyên. trong phạm vi {\ displaystyle 1 \ dot K} 1 \ dot K; ở dạng này, một phân phối loại tương đương với một phân phối đa thức trong một thử nghiệm duy nhất.

Trong tài chính, các nhà phân tích sử dụng phân phối đa thức để ước tính xác suất xảy ra một tập hợp các kết quả nhất định.

Phân phối đa thức được sử dụng trong tài chính để ước tính xác suất xảy ra một tập hợp các kết quả nhất định, chẳng hạn như khả năng một công ty sẽ báo cáo thu nhập tốt hơn mong đợi trong khi các đối thủ cạnh tranh báo cáo thu nhập đáng thất vọng.

Đó là một phân phối xác suất được sử dụng trong các thử nghiệm với hai hoặc nhiều biến. Có nhiều loại phân phối đa thức khác nhau, bao gồm cả phân phối nhị thức, liên quan đến các thử nghiệm chỉ có hai biến. Phân phối đa thức được sử dụng rộng rãi trong khoa học và tài chính để ước tính xác suất xảy ra một tập hợp các kết quả nhất định.

Phân phối đa thức, trong thống kê, tổng quát của phân phối nhị thức, chỉ thừa nhận hai giá trị (chẳng hạn như thành công và thất bại), cho nhiều hơn hai giá trị. Giống như phân phối nhị thức, phân phối đa thức là một hàm phân phối cho các quá trình rời rạc trong đó xác suất cố định chiếm ưu thế đối với mỗi giá trị được tạo độc lập. Mặc dù các quy trình liên quan đến phân phối đa thức có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng phân phối nhị thức bằng cách tập trung vào một kết quả quan tâm và kết hợp tất cả các kết quả khác thành một loại (đơn giản hóa phân phối thành hai giá trị), phân phối đa thức hữu ích hơn khi tất cả các kết quả là quan tâm.

Phân bố đa thức thường gặp trong các ứng dụng sinh học và địa chất. Ví dụ, nhà thực vật học người Áo ở thế kỷ 19, Gregor Mendel đã lai hai dòng đậu Hà Lan, một loại có hạt xanh và nhăn và một có hạt màu vàng và trơn, tạo ra các chủng có bốn loại hạt khác nhau: xanh và nhăn, vàng và tròn, xanh và tròn, và vàng và nhăn nheo. Nghiên cứu của ông về phân phối đa thức kết quả đã giúp ông khám phá ra các nguyên tắc cơ bản của di truyền học.

2. Đặc điểm Phân phối đa thức:

Trong các ký hiệu, phân phối đa thức liên quan đến một quá trình có tập k kết quả có thể có (X1, X2, X3,…, Xk) với các xác suất liên quan (p1, p2, p3,…, pk) sao cho Σpi = 1. Tổng của các xác suất phải bằng 1 vì một trong các kết quả chắc chắn xảy ra. Sau đó, đối với n lần thử lặp lại của quá trình, hãy đặt xi cho biết số lần kết quả Xi xảy ra, tuân theo các hạn chế rằng 0 ≤ xi ≤ n và Σxi = n. Với ký hiệu này, hàm mật độ xác suất khớp.

Pr=n! /((n1!)(n2!)...(nx!)) x P1^n1P2^n2...Px^nx

Trong đó:

n = số sự kiện

n1 = số kết quả, sự kiện 1

n2 = số kết quả, sự kiện 2

nx = số kết quả, sự kiện x

P1 = xác suất sự kiện 1 xảy ra

P2 = xác suất sự kiện 2 xảy ra

Px = xác suất sự kiện x xảy ra

Thí dụ

Ba người chơi bài chơi một loạt các trận đấu. Xác suất để người chơi A thắng bất kỳ trò chơi nào là 20%, xác suất người chơi B thắng là 30% và xác suất người chơi C thắng là 50%. Nếu họ chơi 6 ván thì xác suất để người chơi A thắng 1 ván, người B thắng 2 ván và người chơi C thắng 3 ván là bao nhiêu?

Giải pháp: Được:

n = 12 (tổng cộng 6 trận)

n1 = 1 (Người chơi A thắng)

n2 = 2 (Người chơi B thắng)

n3 = 3 (Người chơi C thắng)

P1 = 0,20 (xác suất Người chơi A thắng)

P1 = 0,30 (xác suất Người chơi B thắng)

P1 = 0,50 (xác suất Người chơi C thắng)

3. Các điều kiện áp dụng cho phân phối đa thức:

Phân phối đa thức áp dụng cho các thử nghiệm trong đó các điều kiện sau là đúng:

– Thử nghiệm bao gồm các thử nghiệm lặp đi lặp lại, chẳng hạn như lăn một con súc sắc năm lần thay vì chỉ một lần.

– Mỗi phiên tòa phải độc lập với những phiên tòa khác. Ví dụ, nếu bạn tung hai con xúc xắc, kết quả của một con xúc xắc không ảnh hưởng đến kết quả của con xúc xắc kia.

– Xác suất của mỗi kết quả phải giống nhau trên mỗi trường hợp thử nghiệm. Ví dụ: nếu sử dụng một con xúc xắc sáu mặt đều, thì phải có một trong sáu cơ hội cho mỗi số được đưa ra trên mỗi cuộn.

– Mỗi lần thử phải đưa ra một kết quả cụ thể, chẳng hạn như một số từ hai đến 12 nếu tung hai viên xúc xắc sáu mặt.

Tiếp tục với xúc xắc, giả sử chúng tôi chạy một thử nghiệm trong đó chúng tôi tung hai viên xúc xắc 500 lần. Mục tiêu của chúng tôi là tính xác suất thử nghiệm sẽ tạo ra các kết quả sau trong 500 lần thử nghiệm:

– Kết quả sẽ là “2” trong 15% thử nghiệm;

– Kết quả sẽ là “5” trong 12% thử nghiệm; Kết quả sẽ là “7” trong 17% thử nghiệm; và

– Kết quả sẽ là “11” trong 20% ​​thử nghiệm.

Phân phối đa thức sẽ cho phép chúng ta tính xác suất mà sự kết hợp các kết quả ở trên sẽ xảy ra. Mặc dù những con số này được lựa chọn tùy ý, nhưng cùng một loại phân tích có thể được thực hiện cho các thí nghiệm có ý nghĩa trong khoa học, đầu tư và các lĩnh vực khác. Ví dụ trong thế giới thực về phân phối đa thức

Khi đầu tư, nhà quản lý danh mục đầu tư hoặc nhà phân tích tài chính có thể sử dụng phân phối đa thức để ước tính xác suất (a) chỉ số vốn hóa nhỏ hoạt động tốt hơn chỉ số vốn hóa lớn 70% thời gian, (b) chỉ số vốn hóa lớn hoạt động tốt hơn chỉ số vốn hóa nhỏ -chỉ số tóm tắt 25% thời gian và (c) các chỉ mục có cùng (hoặc gần đúng) trả về 5% thời gian. Trong trường hợp này, thử nghiệm có thể diễn ra trong cả năm ngày giao dịch, sử dụng dữ liệu từ thị trường để đánh giá kết quả. Nếu xác suất của tập hợp các kết quả này đủ cao, nhà đầu tư có thể bị cám dỗ để đầu tư quá mức vào chỉ số vốn hóa nhỏ.

Trong lý thuyết xác suất, phân phối đa thức là một tổng quát của phân phối nhị thức. Ví dụ, nó mô hình hóa xác suất đếm cho mỗi mặt của một con súc sắc k mặt được lăn n lần. Đối với n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm dẫn đến thành công cho chính xác một trong k danh mục, với mỗi danh mục có xác suất thành công cố định cho trước, phân phối đa thức cho xác suất của bất kỳ tổ hợp số thành công cụ thể nào cho các danh mục khác nhau. Khi k là 2 và n là 1, phân phối đa thức là phân phối Bernoulli. Khi k lớn hơn 2 và n lớn hơn 1 thì nó là phân phối nhị thức. Khi k lớn hơn 2 và n là 1, nó là phân phối loại. Phân phối Bernoulli mô hình hóa kết quả của một thử nghiệm Bernoulli duy nhất.

Nói cách khác, nó mô hình hóa việc lật một đồng xu (có thể bị lệch) một lần sẽ dẫn đến thành công (thu được đầu) hay thất bại (thu được đuôi). Phân phối nhị thức tổng quát điều này thành số đầu từ thực hiện n lần lật độc lập (phép thử Bernoulli) của cùng một đồng xu. Phân phối đa thức mô hình hóa kết quả của n lần thử nghiệm, trong đó kết quả của mỗi lần thử nghiệm có phân phối phân loại, chẳng hạn như lăn một con xúc xắc k mặt n lần.