Lý thuyết và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn chi tiết

1. Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

Phương trình x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất ẩn x.

Phương trình y + 4 = 2 là phương trình bậc nhất ẩn y.

2. Một số quy tắc cần nhớ:

2.1. Quy tắc chuyển vế:

Với một phương trình toán học bất kỳ, chuyển vế – đổi dấu chính là quy tắc đầu tiên và cũng là quy tắc quan trọng nhất mà bạn không bao giờ được quên. Vì cho dù sau này bạn học tới phương trình bậc cao cỡ nào, phức tạp ra sao thì cũng vẫn phải chuyển vế – đổi dấu như thường.

Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Giải phương trình x – 3 = 0

Lời giải:

Ta có x – 3 = 0 ⇔ x = 3. (chuyển hạng tử – 3 từ vế trái sang vế phải và đổi thành + 3 ta được x = 3)

2.2. Quy tắc nhân với một số:

Tương tự như chuyển vế – đổi dấu thì nhân (chia) phương trình với một số cũng là một quy tắc được sử dụng khá nhiều. Cụ thể, với quy tắc này, bạn có thể lựa chọn nhân hoặc chia cả 2 vế của phương trình với một số bất kỳ khác 0. Dĩ nhiên, không phải nhân tùy tiện để phương trình phức tạp lên mà là chọn số và nhân (chia) sao cho hợp lý.

Thông thường, chúng ta sẽ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình có cả số tự nhiên và phân số hoặc số thập phân. Vì chung quy lại thì tính toán với số tự nhiên vẫn là nhẹ nhàng nhất cho dù giá trị có to tới đâu.

Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ví dụ: Giải phương trình x/2 = – 2.

Lời giải:

Ta có x/2 = – 2 ⇔ 2.x/2 = – 2.2 ⇔ x = – 4. (nhân cả hai vế với số 2 ta được x = – 4 )

3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải:

– Bước 1: Chuyển vế ax = – b.

– Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: x = – b/a.

– Bước 3: Kết luận nghiệm: S = { – b/a }.

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = – b/a.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – b/a }.

Chú ý:

Cho phương trình ax + b = 0 (1)

– Nếu a = 0 và b = 0  thì phương trình (1) có vô số nghiệm

– Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = – b/a.

4. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa: Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương pháp:

Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình.

Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn:

Cho phương trình ax + b = 0 (1)

– Nếu a = 0 và b = 0  thì phương trình (1) có vô số nghiệm

– Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

– Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = – b/a.

Dạng  3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

* Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước:

–  Tìm ĐKXĐ của phương trình: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác $0$.

– Quy đồng mẫu hai vế

– Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

– Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

– Thu gọn và giải phương trình nhận được.

* Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi.

* Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng

|A|=m(m≥0)⇔ A = m hoặc A = -m

5. Bài tập và hướng dẫn lời giải:

Câu 1: Giải các phương trình sau

1. 2x + 3 = 0.
2. 3x – x + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

1. 2x + 3 = 0 ⇔ 2x = -3 ⇔ x = -3/2

Như vậy, ta có phương trình: 2x + 3 = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất là x= -3/ 2

     2. 3x – x + 4 = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ 2x = -4 ⇔ x = -2

Như vậy, ta có phương trình bao gồm tập nghiệm S = {-2}.

Câu 2: Giải các phương trình bậc nhất sau:

a) (3x + 5) − (x − 5) − 8 = 0

⇔ 3x + 5 − x + 5 − 8 = 0   (Phá ngoặc đằng trước có dấu trừ phải đối dấu)

⇔ 3x − x  + 2 = 0  ⇔ 2x + 2 = 0  (Đưa về phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0)

⇔ 2x = – 2

⇔ x  = – 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1.

b) (3 − 5x) + (6x − 10) − 9 = 0

⇔ 3 − 5x + 6x − 10 − 9 = 0

⇔ x − 16 = 0

⇔ x = 16.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 16.

Câu 3: Tìm điều kiện để các phương trình sau được xem là phương trình bậc nhất một ẩn

1. 3x = 0
2. 1 – 2y = 0
3. 3x – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

1. 3x = 0 ⇔ x = 0. 

Như vậy ta có phương trình bao gồm tập nghiệm S = {0}.

     2. 1 – 2y = 0 ⇔ -2y = – 1 ⇔ y = ½

Như vậy, ta sẽ có phương trình bao gồm tập nghiệp S= {½}

     3. 3x – 11 = 0 ⇔ 3x = 11 ⇔ X= 11/3 

Như vậy, phương trình sẽ có 1 nghiệm x= 11/3.

Câu 4: Hãy chọn đáp án đúng

Tìm tập nghiệm của phương trình – 4x + 7 = – 1

1. S = { 2 }.
2. S = { – 2 }.
3. S = { 3/2 }.
4. S = { 3 }.

Hướng dẫn giải:

Ta có: – 4x + 7 = – 1 

⇔ – 4x = – 1 – 7 

⇔ – 4x = – 8

⇔ x = – 8/ – 4 

⇔ x = 2.

Như vậy phương trình sẽ có tập nghiệm là S = { 2 }.

Vậy: Đáp án chính xác là A.

Câu 5: Giải và biện luận phương trình 3mx + m = 0.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình: 3mx + m = 0 có a = 3m, b = m

Với 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x = -m/3m = -1/3

Với 3m = 0 và m ≠ 0 ⇔ m 3m=0m≠0⇔m∈∅⇒”>∈∅ ⇒ Phương trình vô nghiệm  

Với 3m = 0 và m = 0 ⇔ m = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Vậy với m = 0 thì phương trình có vô số nghiệm, m ≠ 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x= = -1/3

Câu 6: Giải phương trình (x – 3)(2x – 8) = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

(x – 3)(2x – 8) = 0

⇔ x – 3 = 0               ⇔  x = 3                 ⇔  x = 3

hoặc                        hoặc                         hoặc

     2x – 8 = 0                  2x = 8                     x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3; 4}.

Câu 7: Giải phương trình ax + 1 = x − 1 với a là tham số.

Hướng dẫn giải:

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

ax − x = − 1 − 1

⇔ (a − 1)x = − 2

– Nếu a = 1 thì a − 1 = 0 thì phương trình trở thành

0x = − 2, phương trình vô nghiệm.

– Nếu a ≠ 1 thì a − 1 ≠ 0 thì phương trình có nghiệm

x = −2/(a − 1)

Câu 8: Giải phương trình a(ax + 1) = x(a + 2) + 2, với a là tham số.

Hướng dẫn giải:

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

a²x + a = ax + 2x + 2

⇔  a²x − ax − 2x = 2 − a

⇔ (a² − a − 2)x = 2 − a

⇔ (a + 1)(a − 2)x = 2 − a.

– Nếu a = -1 thì phương trình có dạng 0x = 3, phương trình vô nghiệm.

– Nếu a = 2 thì phương trình có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x.

– Nếu a ≠ -1 và a ≠ 2 thì phương trình có nghiệm là

x = – 1/(a+1)

Bài 9: Tìm giá trị của m để phương trình 5(m + 3x)(x + 1) − 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2.

Hướng dẫn giải:

Phương trình có nghiệm x = 2 tức là giá trị x = 2 thỏa mãn phương trình nên thay giá trị x = 2 vào phương trình, ta có:

5(m + 3 . 2 )(2 + 1) − 4(1 + 2 . 2) = 80 

⇔ 15(m + 6) − 20 = 80

⇔ 15m = 10

Lúc này ta coi m là ẩn và giải phương trình bậc nhất thu được nghiệm m = 10/15 = 2/3.

Vậy với m = 2/3 thì phương trình nhận x = 2 là nghiệm.