Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng là một chuyên đề vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 ở bậc Trung học cơ sở, là tiền đề cho những kiến thức ở bậc Trung học phổ thông. Trong bài viết dưới đây mời bạn đọc cùng chúng tôi tìm hiểu về lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng |Chuyên đề Toán 9.
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét |Chuyên đề Toán 9:
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:
Khi đó nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:
2. Ứng dụng Hệ thức Vi-ét |Chuyên đề Toán 9:
a) Tính nhẩm nghiệm
– Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c/a
– Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c/a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.
– Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 – Sx + P = 0
– Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
3. Câu hỏi trắc nghiệm vận dụng liên quan có đáp án chi tiết:
Câu hỏi 1: Biết rằng phương trình mx2 + (3m − 1)x + 2m − 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m. Tìm x1; x2 theo m
Lời giải chi tiết:
Phương trình mx2 + (3m − 1)x + 2m − 1 = 0 (m ≠ 0) có
a = m; b = 3m – 1; c = 2m – 1
Vì a – b + c = m – 3m + 1 + 2m – 1 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
Đáp án cần chọn là: A
Câu hỏi 2: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2. Khi đó:
Lời giải chi tiết:
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì:
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 3: Chọn phát biểu đúng: Phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0 . Khi đó:
A. Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia x2 = c/a
B. Phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia x2= c/a
C. Phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia x2 = -c/a
D. Phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia x2 = -c/a
Lời giải chi tiết:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0
Thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia x2 = c/a
Nếu phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0
Thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia x2 = -c/a
Chọn đáp án C.
Câu hỏi 4: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S2 ≥ 4P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây:
A. X2 – PX + S = 0
B. X2 – SX + P = 0
C. SX2 – X + P = 0
D. X2 – 2SX + P = 0
Lời giải chi tiết:
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 (ĐK: S2 ≥ 4P)
Chọn đáp án B.
Câu hỏi 5: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x2 – 6x + 7 = 0
A. 1/6
B. 3
C. 6
D. 7
Lời giải chi tiết:
Phương trình x2 – 6x + 7 = 0 có Δ = (-6x)2 – 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 
= 6 ⇔ x1 + x2 = 6
Chọn đáp án C.
Câu hỏi 6: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
Lời giải chi tiết:
Phương trình x2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Chọn đáp án B.
Câu hỏi 7: Biết có hai số u và v thỏa mãn điều kiện: u + v = 12 và u.v = 27. Biết u < v. Tính u2.v?
A. 54
B. 27
C. 144
D. 72
Lời giải chi tiết:
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 8: Biết có hai số u và v thỏa mãn u – v = 10 và u.v = 11. Tính |u+ v| ?
A. 11
B. 12
C. 10
D. 13
Lời giải chi tiết:
Ta có: u.v =11 nên u.(-v) = -11 (1)
Từ u – v = 10 nên u + (- v) = 10 (2)
Khi đó; u và (-v) là nghiệm phương trình:
x2 – 10x – 11 = 0 (*)
Do a – b + c = 1 -(-10 ) + (-11) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm là:
x1 = -1 và x2 = 11
* Trường hợp 1: Nếu u = -1 và –v = 11
=> v = -11 nên u + v = -12
* Trường hợp 2: nếu u = 11 và –v = -1 thì v = 1
Suy ra: u + v = 12
Trong cả 2 trường hợp ta có: |u + v| = 12
Chọn đáp án B.
Câu hỏi 9: Cho phương trình x2 – 4x + m + 1= 0 . Tìm m để phương trình trên có nghiệm và x1. x2 = 4. Tìm m ?
A. m = – 3
B. Không có giá trị nào
C. m =3
D. m = 2
Lời giải chi tiết:
Ta có: Δ’ = (-2)2 – 1.(m + 1) = 3 – m
Để phương trình đã cho có nghiệm thì Δ’ = 3 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .
Với điều kiện trên thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1; x2 .
Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 = m + 1
Để x1. x2 = 4 thì m + 1 = 4 nên m = 3 ( thỏa mãn điều kiện)
Chọn đáp án C.
Câu hỏi 10: Cho phương trình x2 – 4x + (2m – 2) = 0.Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt ?
A. m = 0
B. m =1
C. m = -1
D. Không có giá trị nào thỏa mãn
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Δ’ = (-2)2 – 1.(2m – 2) = 2 – 2m
Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn
Chọn đáp án D.
Câu hỏi 11: Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Chọn đáp án A.
Câu hỏi 12: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình −x2 − 4x + 6 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức Trắc nghiệm Hệ thức Vi-ét và ứng dụng có đáp án
A. −2
B. 1
C. 0
D. 4
Lời giải chi tiết:
Phương trình: −x2 − 4x + 6 = 0 có ∆ = (−4)2 – 4.(− 1).6 = 40 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Đáp án cần chọn là: C
Câu hỏi 13: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 − 20x − 17 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C = x13 + x23
A. 9000
B. 2090
C. 2090
D. 9020
Lời giải chi tiết:
Phương trình x2 − 20x − 17 = 0 có ∆ = 468 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Đáp án cần chọn là: D
Câu hỏi 14: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình 2×2 − 18x + 15 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C = x13 + x23
Lời giải chi tiết:
Phương trình 2×2 − 18x + 15 = 0 có = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Đáp án cần chọn là: B
Câu hỏi 15: Biết rằng phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2) luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m. Tìm x1; x2 theo m
Lời giải chi tiết:
Phương trình (m – 2)x2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2; b = − (2m + 5);
c = m + 7
Vì a + b + c = m – 2 – 2m – 5 + m + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
Đáp án cần chọn là: C
