Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Lý Thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy. 

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

=> Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

=> Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng:

2.1. Tính chất: 

Tính chất 1

Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2

Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

2.2. Định nghĩa, định lý 3 đường vuông góc:

Định nghĩa: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc): Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

2.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định nghĩa

Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.

3. Ứng dụng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong toán học và hình học và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Sau đây là một số ứng dụng thường thấy của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong cuộc sống:

– Kiến trúc và Xây dựng: Trong thiết kế kiến trúc và xây dựng các công trình đòi hỏi độ chính xác cao nên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường được sử dụng để xác định vị trí và góc của các tấm vật liệu xây dựng như tường, cửa, cửa sổ, và sàn nhà. Điều này giúp đảm bảo không có sai sót và tính đối xứng thẩm mỹ trong công trình xây dựng.

– Định vị và Hệ thống Địa lý: Trong định vị và hệ thống địa lý, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng địa lý (bề mặt Trái Đất) được sử dụng để xác định hướng và vị trí chính xác theo vĩ độ và kinh độ. Điều này khá quan trọng trong việc thiết lập bản đồ, hệ thống dẫn đường GPS và trong nghiên cứu địa lý.

– Kỹ thuật Điện tử và Điện: Trong kỹ thuật điện tử và điện, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mạch điện được sử dụng để xác định vị trí và hướng của các thành phần điện tử trên mạch điện, vi mạch và các chip điện tử. Điều này giúp cải thiện hiệu suất và độ tin cậy của các thiết bị điện tử.

– Thiết kế Cơ khí: Khi thiết kế cơ khí,lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được kết hợp cùng với các khái niệm hình học để thiết kế và sản xuất các sản phẩm cơ khí như động cơ, máy móc, và các chi tiết phức tạp khác.

–  Điều hòa không khí và Quản lý Nhiệt độ: Trong ngành công nghiệp điều hòa không khí và quản lý nhiệt độ, nguyên lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường được sử dụng để xác định hướng và vị trí của các cửa sổ, lỗ thông gió và hệ thống đường ống, đảm bảo rằng luồng không khí và nhiệt độ được kiểm soát một cách hiệu quả.

4. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Lời giải: Chọn C

+ Do SA 1 (ABC) và BCC (ABC) nên câu A đúng.

+ Ta chứng minh BC ⊥ (SAB)

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

AB, SA C (SAB)

=> BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ AH.

Lại có; SB=> BC ⊥ AH nên AH ⊥ (SBC)

=> AH ⊥ BC và AH ⊥ SC

=> B và D đúng

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Lời giải: Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC). Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Lời giải: Chọn D

Gọi I là trung điểm của CA, kẻ IH ⊥ SC.

Ta có BI ⊥ AC, BI ⊥ SA ⇒ BI ⊥ SC

Do đó SC ⊥ (BIH) hay thiết diện là tam giác BIH.

Mà BI ⊥ (SAC) nên BI ⊥ IH hay thiết diện là tam giác vuông.

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng

A. 36√2               B. 40               C. 36√3               D. 36

Lời giải: Chọn A

Do tam giác ABD đều nên BE ⊥ AD    (1)

Do tam giác ACD đều nên CE ⊥ AD    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD ⊥ (BEC)

⇒ Thiết diện là tam giác BCE. Gọi F là trung điểm của BC.

Ta có BE = CE = (12√3)/3 = 6√3

EF = √(BE)^2 – (BF)^2 = 6√2

Diện tích thiết diện là:

S= 1/2 EF. BC = 36√2

Bài 5: Mệnh đề nào sau đây là sai?   

A. nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì b ⊥ a

B. nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)

C. nếu a ⊂ (P) và b ⊥ (P) thì b ⊥ a

D. nếu a ⊂ (P), a ⊆(P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P)

Lời giải: Chọn B

Bài 6: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải: Chọn B

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB= SD. Đường thẳng DB không vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. AC      

B. SA      

C. SB      

D. SC

Lời giải: Chọn C

BD ⊥ AC (tính chất hình thoi), BD ⊥ SC và BD ⊥ SA và DB ⊥ (SAC)