Đường tròn là gì? Tính chất của đường tròn? Hình tròn là gì? Cung và dây của một vòng tròn? Thuộc tính quan trọng của hình tròn – liên quan đến góc? Công thức hình tròn quan trọng: Diện tích và chu vi? Ứng dụng các tính chất trong câu hỏi?
Mục lục bài viết
1. Đường tròn là gì?
Đường tròn có tâm O và bán kính R là hình gồm tập hợp các điểm cách tâm O một khoảng cách bằng bán kính R. Bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn này và có đường thẳng nối liền với tâm O đều được gọi là bán kính.
(Trong đó: Điểm cố định trong đường tròn gọi là tâm; Bán kính là khoảng cách cố định giữa tâm và tập hợp các điểm. Nó được ký hiệu là “R” )
Các vị trí tương đối bất kỳ một điểm nào với đường tròn tâm O, bán kính R
Ta nhận thấy có 3 vị trí tương đối giữa một điểm lấy dụ là A và đường tròn tâm O và bán kính R gồm:
– Nếu điểm A nằm trong đường tròn (O,R) => OA < R – Nếu điểm A nằm trên đường tròn (O,R) => OA = R – Nếu điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R) => OA < R
2. Tính chất của đường tròn:
Các đường tròn có chu vi bằng nhau thì bằng nhau. Đường kính là đoạn thẳng dài nhất trong một hình tròn: – Đường kính là một đoạn thẳng, có các điểm biên là các đường tròn làm điểm cuối và đi qua tâm. – Vì vậy, về mặt logic, một đường kính có thể được chia thành hai phần: – Một phần từ một điểm biên của vòng tròn đến tâm – Và, phần khác từ trung tâm đến một điểm ranh giới khác. – Do đó, Đường kính = Hai lần chiều dài của bán kính hoặc “D = 2R” Bán kính các đường tròn bằng nhau thì sẽ bằng nhau. Chu vi của hai đường tròn khác nhau sẽ tỷ lệ với bán kính tương ứng của mỗi đường tròn. Góc kẻ ngang ở tâm đường tròn là 360 độ. Hai đường tiếp tuyến bất kì được vẽ trên cùng một đường tròn từ một điểm bất kì bên ngoài sẽ có một chiều dài bằng nhau. Một tiếp tuyến bất kì của đường tròn nằm tại một góc vuông với bán kính ở điểm tiếp xúc. Đường tròn là một hình có tâm và có trục đối xứng với nhau.
3. Hình tròn là gì?
Hình tròn là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn và nằm bên trong của đường tròn đó.
4. Cung và dây của một vòng tròn:
4.1. Cung:
Cung của đường tròn là một phần của chu vi. Chu vi là chiều dài của đường tròn
Từ hai điểm bất kỳ nằm trên đường bao của đường tròn, có thể tạo ra hai cung: Cung nhỏ và cung lớn.
– Cung nhỏ: Cung ngắn hơn tạo bởi hai điểm. – Cung chính: Cung dài hơn được tạo bởi hai điểm.
Nếu 2 điểm bất kỳ là B, C cùng nằm trên đường tròn ( không trùng nhau) và đã chia đường tròn làm 2 phần thì mỗi phần sẽ là một cung tròn. 2 điểm B, C được gọi là hai đầu mút của hai cung.
Nhìn dưới hình ta có thấy đâu là cung lớn và cung nhỏ.
4.2. Dây:
Đoạn thẳng nối 2 đầu mút B, C trong cung được thể hiện ở hình trên được gọi là dây cung. Nếu 2 điểm mút B và C đi qua tâm của đường tròn thì được gọi là đường kính. Trong hình trên đường kính chính là đoạn thẳng AB.
4.3. Mối liên hệ giữa cung và dây:
Định lý 1:
Nếu 2 cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau thì:
Hai cung bằng nhau thì 2 dây bằng nhau.
Hai dây bằng nhau thì 2 cung bằng nhau.
Định lý 2:
Nếu 2 cung nhỏ trong cùng một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau thì:
– Cung lớn hơn thì dây sẽ lớn hơn. – Cung lớn hơn thì cung sẽ lớn hơn.
Ngoài ra:
– Trong một đường tròn, đường kính AB đi qua điểm chính giữa của một cung bất kỳ nào đó thì sẽ vuông góc với dây căng qua cung ấy và điều ngược lại cũng đúng. – Đường kính AB đi qua trung điểm của một dây bất kì và không đi qua tâm hình tròn thì sẽ đi qua trung điểm của cung đã bị căng bởi chính dây ấy. – Đường kính AB đi qua điểm chính giữa của một cung bất kì thì sẽ đi qua trung điểm của chính dây đã căng cung ấy. – Hai cung đã bị chắn giữa hai dây song song bất kì thì sẽ bằng nhau.
Đường tiếp tuyến:
Tiếp tuyến là đường tiếp xúc với đường tròn tại một điểm bất kỳ.
Tính chất của tiếp tuyến: Bán kính luôn vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn.
5. Thuộc tính quan trọng của hình tròn – liên quan đến góc:
Góc nội tiếp
Góc nội tiếp là góc tạo thành giữa hai dây cung khi chúng cắt nhau trên một đường tròn.
Tính chất của góc nội tiếp
1. Các góc tạo bởi cùng một cung trên một đường tròn bao giờ cũng bằng nhau
2. Góc trong nửa đường tròn luôn bằng 90°.
Góc trung tâm:
Góc ở tâm là góc được tạo thành khi hai đoạn thẳng gặp nhau sao cho một trong các điểm cuối của cả hai đoạn thẳng nằm ở tâm và một điểm khác nằm ở ranh giới của đường tròn.
Tính chất của các góc ở tâm
Góc tạo bởi một cung ở tâm gấp đôi góc nội tiếp tạo bởi cung đó.
6. Công thức hình tròn quan trọng: Diện tích và chu vi:
Sau đây là một số công thức toán học sẽ giúp bạn tính diện tích và chu vi/chu vi hình tròn.
Chu vi:
– Chu vi hoặc Chu vi hình tròn = 2 × π × R. – Độ dài của Cung = (Góc ở tâm tạo bởi cung/360°) × 2 × π × R.
Diện tích:
– Diện tích hình tròn = π × R² – Diện tích của khu vực =(Góc trung tâm được tạo bởi khu vực/360°) × π × R². Dưới đây là danh sách tóm tắt tất cả các thuộc tính mà chúng ta đã học được trong bài viết cho đến thời điểm này.
Thuộc tính quan trọng | ||
Các dòng trong một vòng tròn | Dây nhau | Vuông góc thả từ trung tâm chia hợp âm thành hai phần bằng nhau. |
Đường tiếp tuyến | Bán kính luôn vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn. | |
Góc trong một vòng tròn | Góc nội tiếp | 1. Các góc tạo bởi cùng một cung trên một đường tròn bao giờ cũng bằng nhau. |
Góc trung tâm | Góc tạo bởi một cung ở tâm gấp đôi góc nội tiếp tạo bởi cung đó. | |
Công thức quan trọng | Chu vi của một vòng tròn | 2×π×R. |
Chiều dài của một cung | (Góc ở tâm tạo bởi cung/360°) × 2 × π × R | |
Diện tích hình tròn | π × R² | |
Diện tích của một ngành | (Góc ở tâm tạo bởi cung/360°) × π × R² | |
7. Ứng dụng các tính chất trong câu hỏi:
Câu hỏi 1
Độ dài hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông khác cạnh huyền là 6 cm và 8 cm. Nếu tam giác vuông này nội tiếp trong một đường tròn thì diện tích hình tròn đó là bao nhiêu? A. 5π B. 10π C. 15π D. 20π E. 25π Dung dịch
Bước 1: Đưa ra Độ dài hai cạnh khác cạnh huyền của một tam giác vuông là 6 cm và 8 cm. Tam giác này được ghi trong một vòng tròn.
Bước 2: Để tìm Diện tích hình tròn.
Bước 3: Tiếp cận và giải quyết Hãy để chúng tôi vẽ biểu diễn sơ đồ. Bằng cách áp dụng tính chất góc trong nửa đường tròn là 90º, chúng ta có thể nói rằng AB là đường kính của đường tròn. Và, một khi tìm được độ dài của đường kính, chúng ta có thể tìm được bán kính, và sau đó chúng ta cũng có thể tìm được diện tích hình tròn.
Áp dụng định lý Pythagoras trong △ ABC, AB² = AC² + BC² AB² = 6² + 8² = 36 +64 = 100 AB = 10 cm Vì AB là đường kính nên AB = 2R = 10 Do đó, R = 5 cm. Diện tích hình tròn = π × R²= π × 5² = 25 π. Do đó, đáp án đúng là phương án E.
Câu hỏi 2
Trong sơ đồ trên, O là tâm của đường tròn. Nếu OB = 5 cm và ∠ABC = 30 0 thì độ dài cung AC là bao nhiêu? A. 5π/6 B. 5π/3 C. 5π/2 D. 5π E. 10π Dung dịch
Bước 1: Đưa ra – OB = 5 cm – ∠ABC = 30°
Bước 2: Để tìm Chiều dài của cung
Bước 3: Tiếp cận và giải quyết Độ dài cung = (Góc ở tâm tạo bởi cung/360°) × 2 × π × R. Để tìm độ dài của cung, chúng ta cần giá trị của hai biến, góc ở tâm tạo bởi cung và bán kính.
– Ta đã cho bán kính OB = 5cm – Ta cần tìm ∠AOC Quan sát đồ thị, góc nội tiếp bởi cung AC là ∠ABC, và góc ở tâm bởi cung AC là ∠AOC.
– Do đó, ta có thể áp dụng tính chất góc tạo bởi một cung bằng hai lần góc nội tiếp tạo bởi chính cung đó. – Do đó, ∠AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 30° = 60° Bây giờ, chúng ta cũng biết góc ở tâm tạo bởi cung.
Do đó, độ dài của cung AC =(Góc ở tâm tạo bởi cung/360°) × 2 × π × R.
a) =(60°/360°) × 2 × π × 5.
b) =(1/6) × 2 × π × 5.
c) =(5π/3) cm
Như vậy, đáp án đúng là phương
