Hàm số chẵn là gì? Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số?

1. Hàm số chẵn là gì?

Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

2. Hàm số lẻ là gì?

Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

3. Quy trình xét tính chẵn, lẻ của hàm số: 

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

Trước khi xác định tính chẵn, lẻ của một hàm số, chúng ta cần tìm tập xác định của nó. Tập xác định (D) của hàm số là tập hợp các giá trị x mà hàm số được định nghĩa và tồn tại giá trị tương ứng cho x đó.

B2: Kiểm tra tính chẵn, lẻ của hàm số.

Sau khi xác định tập xác định của hàm số, chúng ta tiếp tục kiểm tra tính chẵn, lẻ của hàm số. Có hai trường hợp cần xem xét:

• Trường hợp 1: Nếu với mọi giá trị x thuộc tập xác định (D) của hàm số, ta có -x cũng thuộc tập xác định (D), chúng ta tiến hành bước ba.

• Trường hợp 2: Nếu tồn tại một giá trị x0 thuộc tập xác định (D) của hàm số mà -x0 không thuộc tập xác định (D), chúng ta kết luận là hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.

B3: Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số.

Sau khi đã xác định được tập xác định của hàm số và đã kiểm tra trường hợp 1 và trường hợp 2, chúng ta tiến hành xác định tính chẵn, lẻ của hàm số. Có ba trường hợp cần xem xét:

– Trường hợp 1: Nếu f(-x) = f(x), chúng ta kết luận là hàm số là hàm chẵn.

– Trường hợp 2: Nếu f(-x) = -f(x), chúng ta kết luận là hàm số là hàm lẻ.

– Trường hợp 3: Nếu tồn tại một giá trị x0 thuộc tập xác định (D) của hàm số sao cho f(-x0) ≠ ± f(x0), chúng ta kết luận là hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.

Quy trình xét tính chẵn, lẻ của hàm số giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và áp dụng trong các bài toán liên quan.

4. Bài tập trắc nghiệm vận dụng liên quan: 

Bài tập 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y = cosx + (sinx)2 B. y = sin x + cosx C.y = -cosx D. y = sinx.cos3x Đáp án: D Bài tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

Đáp án: B

Bài tập 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

Đáp án: A

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) = sin2x và g(x) = tan2 x

Chọn mệnh đề đúng

 A. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

B. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.

C. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn.

D. f(x) và g(x) đều là hàm số lẻ.

Đáp án: B

Bài tập 5: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 π

B. Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 π

C. Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2 π

D. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π

Đáp án: C

 Bài tập 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y = sin x

B. y = sinx + x

C. y = xcosx

D. y = (sinx) / x

Đáp án: A

Bài tập 7: Tìm chu kì T của hàm số y = sin(5x – π/4)

A. T = (2 π)/5 

B. T = (5 π)/2

C. T = π/2

D. T = 2π/8

Đáp án: A

Bài tập 8: Tìm chu kì T của hàm số 

A. T = 4π

B. T = 2π

C. T = -2π

D. T = π

Đáp án: A

Bài tập 9: Tìm chu kì T của hàm số y = cos2x + sin(x/2)

A. T = 4π

B. T = π

C. T = 2π

D. T = π – 1

Đáp án: A

Bài tập 10: Tính chất của hàm số  là

A. Hàm số lẻ

B. Hàm số chẵn

C. Hàm số không chẵn, không lẻ

D. Hàm hằng

Đáp án: D

Bài tập 11: Hàm số  có chu kì cơ sở là

Đáp án: D Bài tập 12: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

Đáp án: C Bài tập 13: Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng?

A. Hàm số y=sin x, y=cos x có chu kì ] T=π

B. Hàm số có chu kì  T=2π

C. Hàm số  y=tan(3/2-4x)có chu kì T=4π

D. Hàm số  y=sin2xcó chu kì T=2π

Đáp án: D

Bài tập 14: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ:

Đáp án: A Bài tập 15: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn;

Bài tập 16: Xét tính chẵn lẻ của hàm số   y=tanx+2sinx

A. Là hàm số lẻ

B. Là hàm số chẵn

C. Là hàm không chẵn

D. Là hàm không lẻ 

Đáp án: D 

Bài tập 17: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

  A. y=-3cosx

 B. y=2sinx

 C. y=-5sin2x+1

Đáp án: B

Bài tập 18: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y = cosx là hàm số lẻ

B. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ

C. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ

D. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ

Đáp án: A

Bài tập 19: Hàm số [y=2sin x+2tan x]là:

A. Hàm số chẵn trên tập xác định

B. Hàm số lẻ trên tập xác định

C. Hàm số không chẵn trên tập xác định

D. Hàm số không chẵn không lẻ trên tập xác định

Đáp án: B

Bài tập 20: Hàm số  là :

A. Hàm số tuần hoàn chu kì π

B. Hàm số lẻ trên tập xác định

C. Hàm số không tuần hoàn

D. Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

Đáp án: C

Bài tập 21: Hàm số  là:

A. Hàm số lẻ

B. Hàm số chẵn

C. Hàm không chẵn, không lẻ

D. Hàm hằng

Đáp án: B

Bài tập 22: Hàm số y=sinx +5cosxlà:

A. Hàm số chẵn trên R

B. Hàm số lẻ trên R

C. Hàm số không lẻ

D. Hàm số không chẵn, không lẻ trên R

Đáp án:D 

Bài tập 23: Chu kì tuần hoàn của hàm số  y=tan(2x+π/3)là:

Đáp án: B

Câu 24.​​ Trong các hàm số​​ $y=2015x,y=2015x+2,y=3x^2-1,y=2x^3-3x$​​ có bao nhiêu hàm số​​ lẻ?

A.​​ $1.$​​    

B.​​ $2.$​​  

C.​​ $3.$​​  

D.​​ $4.$​​ 

Đáp án: B 

Câu 25.​​ Cho hai hàm số​​ $f\left(x\right)=-2x^3+3x$​​ và​​ $g\left(x\right)=x^{2017}+3$. Mệnh đề​​ nào sau đây đúng?

A.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ lẻ;​​ $g\left(x\right)$​​ là hàm số​​ lẻ.

B.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm​​ số​​ chẵn;​​ $g\left(x\right)$​​ là hàm số​​ chẵn.

C.​​ Cả​​ $f\left(x\right)$​​ và​​ $g\left(x\right)$​​ đều là hàm số​​ không chẵn, không lẻ.

D.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ lẻ;​​ $g\left(x\right)$​​ là hàm số​​ không chẵn, không lẻ.

Đáp án: D

Câu 26.​​ Cho hàm số​​ $f\left(x\right)=x^2-\left|x\right|.$​​ Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ lẻ.

B.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ chẵn.

C.​​ Đồ​​ thị​​ của hàm số​​ $f\left(x\right)$​​ đối xứng qua gốc​​ tọa độ.

D.​​ Đồ​​ thị​​ của hàm số​​ $f\left(x\right)$​​ đối xứng qua trục hoành.

Đáp án: B

Câu 27.​​ Cho hàm số​​ $f\left(x\right)=\left|x-2\right|.$​​ Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ lẻ. 

B.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ chẵn.

C.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ vừa chẵn, vừa lẻ.​​  

D.​​ $f\left(x\right)$​​ là hàm số​​ không chẵn, không lẻ.

Đáp án: D

Câu 28.​​ Trong các hàm số​​ nào sau đây, hàm​​ số​​ nào là hàm số​​ lẻ?

A.​​ $y=x^{2018}-2017.$ 

B.​​ $y=\sqrt{2x+3}.$ 

C.​​ $y=\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}.$ 

D.​​ $y=\left|x+3\right|+\left|x-3\right|.$

$Đáp\; án:\; C$

Câu 29.​​ Trong các hàm số​​ nào sau đây, hàm số​​ nào là hàm số​​ chẵn?

A.​​ $y=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|.$ B.​​ $y=\left|x+3\right|+\left|x-2\right|.$ 

C.​​ $y=2x^3-3x.$  D.​​ $y=2x^4-3x^2+x.$

$Đáp\; án:\; A$

Câu 30.​​ Trong các hàm số$y=\left|x+2\right|-\left|x-2\right|,y=\left|2x+1\right|+\sqrt{4x^2-4x+1},y=x\left(\left|x\right|-2\right),$​​ $y=\frac{|x+2015|+|x-2015|}{|x+2015|-|x-2015|}$​​ có bao nhiêu hàm số​​ lẻ?

A.​​ $1.$​​    

B.​​ $2.$​​  

C.​​ $3.$​​  

D.​​ $4.$​​ 

Đáp án: C

Câu 31.​​ Tìm điều kiện của tham số​​ đề​​ các hàm số​​ $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$​​ là hàm số​​ chẵn.

A.​​ $a$​​ tùy ý,​​ $b=0,c=0.$ 

B.​​ $a$​​ tùy ý,​​ $b=0,c$​​ tùy ý.

C.​​ $a,b,c$​​ tùy ý. 

D.​​ $a$​​ tùy ý,​​ $b$​​ tùy ý,​​ $c=0.$​​ 

Đáp án: B