Giải phương trình bậc 2 và nghiệm phương trình bậc hai

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax²  + bx + c = 0  (a≠0)   (1)

Trong đó:  x là ẩn số 

                 a, b, c là các số đã biết gắn với biến x sao cho: a ≠ 0.

Ví dụ: Phương trình 4x² – 2x – 6 = 0  là một phương trình bậc hai

2. Giải phương trình bậc 2 và nghiệm phương trình bậc hai:

2.1. Phân tích thành nhân tử:

Ta có thể nhẩm nghiệm nhanh nếu thấy phương trình bậc hai có:

– Nếu a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a≠0) thì nghiệm của phương trình là: x₁ = 1; x₂ = c/a

– Nếu a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a≠0) thì nghiệm của phương trình là: x₁ = – 1; x₂ = – c/a

– Nếu ac < 0 (a, c trái dấu nhau) thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Sau khi nhẩm thấy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: 

ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂) = 0.

2.2. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc 2:

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax²+ bx+c=0.

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

– Nếu Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm: x₁ = (-b + √Δ )/2a và x₂ = (-b – √Δ )/2a

– Nếu Δ=0, phương trình có nghiệm kép x= – b/2a

– Nếu Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b = 2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’ = b’2 – ac, tương tự như trên:

– Nếu Δ’ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.

– Nếu Δ’ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b’/a.

– Nếu Δ’ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x₁ = (-b’ + √Δ’ )/a và x₂ = (-b’ – √Δ’ )/a

2.3. Định lý Vi-ét:

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn ax² + bx + c (a≠0) thì:

– Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.

– Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:

– P>0, hai nghiệm cùng dương.

– P<0, hai nghiệm cùng âm.

Định lý Vi-ét đảo:

Nếu x₁ + x₂ = S và x₁ . x₂ = P thì x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình x² – Sx + P=0 (Điều kiện S2 – 4P>0)

2.4. Tổng hợp các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

– Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

– Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

– Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

– Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0

– Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ≥ 0 và P > 0

– Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0

– Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ≥ 0; S > 0 và P > 0

– Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ≥ 0; S < 0 và P > 0

– Hai nghiệm đối nhau (Δ≥ 0 và S = 0

– Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ≥ 0 và P = 1

– Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0

– Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

3. Một số dạng bài giải phương trình bậc 2 và nghiệm phương trình bậc hai:

Với dạng phương trình này sẽ có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung, các dạng bài tập đều quy về việc tìm nghiệm của phương trình cho trước. Tập nghiệm có thể gồm 1 hoặc nhiều nghiệm, miễn sao thỏa mãn phương trình. 

3.1. Dạng 1: Bài tập giải phương trình bậc 2 không chứa tham số:

Để giải được phương trình thuộc dạng này, phương pháp phổ biến nhất là sử dụng công thức tính 2 đại lượng Δ hoặc Δ’, sau đó áp dụng công thức để tìm các nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x² – 3x + 2 = 0
2. x² + x – 6 = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 2; x2 = -3

Một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2 không chứa tham số

Trường hợp 1: Phương trình khuyết hạng tử

Phương trình khuyết hạng tử có dạng: ax² + c = 0

=> x² = -c/a

+ Nếu -c/a > 0 thì nghiệm của phương trình là x = ±√(-c/a)

+ Nếu -c/a < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu -c/a = 0 thì phương trình nghiện x = 0

Phương trình khuyết hạng tử tự do có dạng: ax²+bx=0.

Phương pháp: Ta đặt x là nhân tử chung. Lúc này, phương trình được chuyển về dạng:

x.(ax + b) = 0

Nghiệm của phương trình là:

+ x = 0

+ x = -b/a

Các ví dụ về phương trình khuyết hạng tử

a. x² – 4 = 0

b. x²-3x=0

Hướng dẫn giải

a. x² – 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x=2 hoặc x=-2

Vậy nghiệm của phương trình là: x1 = 2 và x2 = -2

b. x² – 3x = 0 ⇔ x.(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy nghiệm của phương trình là: x1 = 0 và x2 = 3

Trường hợp 2: Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình dạng phương trình trùng phương: ax⁴+bx²+c=0 (a≠0):

Phương pháp làm

– Đặt t = x² (điều kiện: t ≥ 0).

– Phương trình đã cho về dạng phương trình mới: at²+bt+c=0

– Giải giống như phương trình bậc 2 bình thường. Lưu ý khi tìm nghiệm phải thỏa mãn t ≥ 0

Phương trình có chứa ẩn ở mẫu:

Phương pháp làm

– Tìm điều kiện để phương trình xác định (điều kiện có mẫu số khác 0).

– Thực hiện quy đồng để khử mẫu

– Giải phương trình mới vừa nhận được. Khi tìm được nghiệm lưu ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Lưu ý: Phương pháp giải phương trình trung phương đặt t = x² (t≥0) còn được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Bên cạnh đó, phương pháp này không phải lúc nào cũng cứng nhắc chỉ được đặt t = x², các em học sinh cũng cần khéo léo lựa chọn ẩn phụ sao cho vừa đưa về dạng phương trình bậc 2, vừa tạo ra phương trình mới tối giản nhất. Ví dụ, có thể đặt ẩn phụ có dạng t = x + 1, t = x² + x, t = x² – 1… tùy từng bài toán khác nhau.

3.2. Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có chứa tham số:

Biện luận tham số về số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp giải:

Các em học sinh sử dụng công thức tính Δ theo tham số m. Sau đó xét dấu của Δ để biện luận số nghiệm của phương trình theo m:

Δ < 0 => phương trình bậc 2 vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình bậc 2 có nghiệm có nghiệm kép (1 nghiệm)
Δ > 0 => phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình: mx²-5x-m-5=0 theo m

Hướng dẫn giải:

Xét trường hợp m=0, khi đó phương trình có dạng -5x – 5 = 0 ⇔ x = -1

Xét trường hợp m≠0, khi đó phương trình là phương trình bậc 2

Ta có: Δ = (-5)² – 4m(-m – 5) = (2m + 5)²

Vì Δ≥0 nên phương trình trên luôn có nghiệm

Trong trường hợp Δ = 0  ⇔ m = -5/2, phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Δ>0 ⇔ m ≠ -5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nghiệm của phương trình là:

Xác định điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Phương pháp giải: để tập nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, điều kiện tiên quyết đầu tiên là phương trình phải có nghiệm. Các em học sinh thực hiện các bước sau:

– Tính Δ, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ không âm)

– Dựa trên định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng của nghiệm, từ đó biện luận nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 có dạng x² + mx + m + 3 = 0. Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: x1² + x2² = 9

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có nghiệm <=> Δ không âm

Vậy ta có: Δ = m²– 4(m+3) ≥0   

Gọi 2 nghiệm của phương trình bậc 2 trên lần lượt là x1 và x2, theo định lý Vi-et ta có:

x1 + x2 = – m

x1.x2 = m + 3

Mặt khác, theo dữ kiện đề bài ra ta có:

x1² + x2² = (x1 + x2)² – 2.x1.x2 = (-m)  

Vậy ta suy ra được:

m² – 2m – 6 = 9

<=> m = 5 hoặc m = -3

Thay thế m vào Δ ta có:

Khi m = 5 => Δ = -7 < 0 (loại)

Khi m = -3 => Δ = 9 > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = -3 thì phương trình x² + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãi điều kiện như đề bài ra.

4. Bài tập và hướng dẫn lời giải:

Giải các phương trình bậc hai sau:

1. 2x²–7x+3=0
2. 6x²+x+5=0
3. y²–8y+16=0

Cách giải 

1. Phương trình 2x²–7x+3=0

Ta có: a = 2 ; b=–7; c = 3

Δ=b2–4ac = (-7)2 – 4.2.3 = 25 > 0

=>√Δ= 5

=> Phương trình có hai nghiệm:

x1=7+52.2=3

x2=7−52.2=12

    2. Phương trình 6x²+x+5=0

Ta có: a = 6; b = 1; c = 5

Δ=b²–4ac=1−4.6.5=−119<0

=> Phương trình vô nghiệm.

    3. Phương trình y²–8y+16=0

Ta có: a = 1; b=−8; c = 16

Δ=(−8)2–4.1.16=0

=> Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=– b/2a=4