Giải bài tập tích có hướng, tích vô hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng và tích có hướng của hai vecto:

1.1. Tích vô hướng của hai vectơ:

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ  được xác định bởi công thức:

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

+ Cho hai điểm . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ . Do đó ta có

+ Cho vectơ. Khi đó góc giữa hai vectơ  và  được tính theo công thức:

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ . Khi đó: 

1. 2. Tích có hướng của hai vectơ:

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơđược xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơkhông đồng phẳng hay và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi

3. Ứng dụng của tích có hướng:

Ta sử dụng tích có hướng để tính:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

+) Diện tích tam giác ABC:

+) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

+) Thể tích tứ diện ABCD:

2. Phương pháp giải và ví dụ minh hoạ:

2.1. Tích vô hướng của hai vectơ:

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải: Cho hai vectơkhi đó:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, chobằng

A. 10

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ. Độ dài vectơ a là

A. 

B. 

C. 21

D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ a là

Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm A (x_A;y_A;z_A) và B (x_B;y_B;z_B). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ . Do đó ta có

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho . Tọa độ của điểm M là

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do M ∈ Oz => M (0; 0; m)

Suy ra M (0; 0; 3). 

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ . Khi đó góc giữa hai vectơ a, b được tính theo công thức:

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ.

A. 45⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 135⁰

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ  .

Ta có:. Khi đó: 

=> φ = 45⁰

Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơ. Khi đó: 

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hướng dẫn giải

Ta kiểm tra lần lượt từng đáp án:

Chọn A.

2.2. Tích có hướng của hai vectơ:

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ , khi đó:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho. Khi đó có tọa độ bằng

A. (8;-12;5)

B. (8;-12;0)

C. (0;8;12)

D. (0;8;-12)

Hướng dẫn giải

Chọn B. 

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng 

Phương pháp giải: đồng phẳng

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ . Giá trị của m để  đồng phẳng là

Hướng dẫn giải

Ta có 

Để  đồng phẳng thì

Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

+) Diện tích tam giác ABC:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:

+) Thể tích tứ diện :

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Hướng dẫn giải

Chọn C.

3. Bài tập minh hoạ và hướng dẫn giải:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

A. P = -10 

B. P = -40

C. P = 16

D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  có tọa độ bằng

A. (0 ; 0 ; 0).

B. (1 ; 1 ; 1).

C. (2 ; 8 ; 2).

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ Chọn mệnh đề đúng.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.                   

B. V = 4.                   

C. V = 5.                   

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơ. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương.

D..

ĐÁP ÁN