Công thức tính tổng dãy số cách đều và dãy số không cách đều

Tính tổng dãy số cách đều và dãy số không cách đều là kiến thức quan trọng trong chương trình môn toán học cơ sở. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp cho các bạn những thông tin cơ bản về công thức tính tổng dãy số cách đều và dãy số không cách đều.

1. Tìm hiểu về dãy số:

1.1. Dãy số là gì?

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u2,…, un; trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số (un).

– Ví dụ 1: Dãy các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8,… có số hạng đầu u1 = 2 số hạng tổng quát un = 2n.

– Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,… có số hạng đầu u1 = 1 và số hạng tổng quát un = n^2

1.2. Một số loại dãy số thường gặp:

Dãy số tăng: 

– Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N*

– Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5,…, 100, 101 là dãy số tăng vì số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước.

Dãy số giảm:

– Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < u với mọi n ∈ N*.

– Ví dụ: 49, 46, 43, 40,…, 3, 0 là dãy số giảm do số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước.

Ngoài ra còn có dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn.

2. Bài toán tính tổng dãy số được hiểu như thế nào?

Với bài toán tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng. Cũng cần lưu ý rằng, dấu cộng không bắt buộc là dấu duy nhất đứng trước mỗi số hạng, thay vào đó có thể là dấu trừ hoặc cả dấu cộng và dấu trừ kết hợp.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức dưới đây:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2023

3. Một số quy luật thường gặp trong dãy số:

Điều đầu tiên ta cần làm khi tính tổng dãy số là xác định quy luật của dãy số. Một số quy luật thường gặp như sau:

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tổng (hoặc hiệu) số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tích (hoặc thương) của số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a khác 0.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ ba trở đi) bằng hai số hạng đứng liền trước nó cộng lại.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ tư trở đi) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số thứ tự của số hạng đó cộng với số tự nhiên d bất kỳ.

– Số hạng đứng sau bằng tích của số thứ tự của số hạng đó nhân với số hạng đứng trước.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) đều bằng tích của số liền trước nó với số a bất kỳ.

– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi), mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ) n (với n khác 0).

4. Tổng dãy số cách đều được tính dựa trên công thức nào?

4.1. Công thức tính tổng dãy số cách đều:

Bước 1: Xác định quy luật của dãy số

Bước 2: Tính số số hạng của dãy số

Công thức: Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,…, 100. Dãy số có bao nhiêu số số hạng?

Dãy số có số số hạng là: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 (số)

Trong đó:

100 là số hạng cuối

2 là số hạng đầu

2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy

Bước 3: Tính tổng của dãy số

Công thức: Tổng của dãy số = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Ví dụ: Tính tổng dãy số sau: 2, 4, 6, 8,…, 100.

Áp dụng công thức trên, ta có:

Tổng dãy số = (100 + 2) x 50 : 2 = 2550 

Trong đó:

2 là số hạng nhỏ nhất của dãy (số hạng đầu)

100 là số hạng lớn nhất của dãy (số hạng cuối)

50 là số số hạng của dãy

4.2. Số hạng cuối trong dãy số cách đều được tính như thế nào?

Công thức: Số hạng cuối của dãy số cách đều = Số hạng đầu + (số số hạng – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy

Ví dụ: Dãy số 2, 4, 6, 8,… có 50 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy?

Áp dụng công thức trên, ta có:

Số hạng cuối = 2 + (50 – 1) x 2 = 100.

Trong đó: 

2 là số hạng đầu của dãy số

50 là số số hạng của dãy số

2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.

4.3. Số hạng đầu trong dãy số cách đều được tính như thế nào?

Công thức: Số hạng đầu của dãy số cách đều = số hạng cuối – (số số hạng – 1) x vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.

Ví dụ: Cho dãy số cách đều, trong đó có số cuối là 100, 2 đơn vị là khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy, số số hạng của dãy là 50. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số cách đều?

Áp dụng công thức trên, ta có:

Số hạng đầu của dãy số cách đều trên = 100 – ( 50 – 1 ) x 2 = 2

Trong đó:

100 là số hạng cuối 

50 là số số hạng

2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.

4.4. Trung bình cộng của dãy số cách đều được tính như thế nào?

– Công thức: 

Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng dãy số : số số hạng của dãy số

– Ví dụ: Cho dãy số sau 2, 4, 6, 8,…, 100. Tính trung bình cộng của dãy số cách đều.

Áp dụng công thức trên, ta có: 

Trung bình cộng của dãy số cách đều = 2550 : 50 = 51.

4.5. Một số lưu ý với bài toán tính tổng dãy số cách đều:

– Trong bài toán tính tổng dãy số cách đều, bạn chỉ nên quan tâm đến số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số, dãy số có bao nhiêu số số hạng, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số (còn có tên gọi khác là đơn vị khoảng cách)

– Trong bài toán có số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng một nửa tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối). Tức là (số đầu + số cuối) : 2

– Tùy vào bài toán tính dãy số tăng hoặc giảm để vận dụng vào những công thức trên sao cho phù hợp. 

5. Tổng dãy số không cách đều được tính dựa trên công thức nào?

Dãy số không cách đều được gọi là dãy số Fibonacci (còn được biết với tên khác là tribonacci). Dãy số không cách đều là dãy số có tổng (hoặc hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. 

Ví dụ: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +… + n(n + 1)

Bài giải:

Nhân cả hai vế với 3, ta có:

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + n(n + 1).3

= 1.2.(3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +… + n(n + 1)[(n + 2) – (n + 1)]

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+… + n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

= n(n + 1)(n + 2)

Chia 2 vế cho 3, ta có:

A = [n(n + 1)(n + 2)] : 3

6. Một số bài toán về dãy số cách đều và không cách đều:

6.1. Một số bài toán về dãy số cách đều: 

Câu 1: Dãy số cách đều 2, 4, 6, 8, 10,…, 124 có chứa tất cả bao nhiêu số?

Bài giải: 

Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước 2 đơn vị, suy ra: d = 2

Số số hạng của dãy số = (124 – 2) : 2 + 1 = 62 số

Câu 2: Tính tổng các số trong dãy số: 2, 5, 8, 11,…, 296

Bài giải:

Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau với số liền trước là 3 đơn vị, suy ra d = 3

Số số hạng của dãy số = (296 – 2) : 3 + 1 = 99 số

Tổng của dãy số = (296 + 2) x 99 : 2 = 14751

Câu 3: Tính tổng của dãy số sau = 4 + 7 + 10 + 13 + … + 2014 + 2017

Bài giải:

Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước 3 đơn vị, suy ra d = 3

Số số hạng của dãy số = (2017 – 4) : 3 + 1 = 672 số

Tổng của dãy số = (2017 + 4) x 672 : 2 = 679056

Câu 4: Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,… hay không?

Bài giải: 

Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì:

– 50 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50

– 133 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.

Câu 5: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?

Bài giải: 

Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp nhau là 2 đơn vị

Số cuối hơn số đầu số đơn vị là:

971 – 211 = 760 (đơn vị)

760 đơn vị có số khoảng cách là: 

760: 2 = 380 

Dãy số trên có số số hạng là:

380 +1 = 381 (số)

6.2. Một số bài toán về dãy số không cách đều:

Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100

Bài giải:

Xác định quy luật: 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,…, ta thấy đây là dãy số không cách đều

Nhân hai vế với 3, ta có: 

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3

= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + … + 98 x 99 x (100 – 97) + 99 x 100 x (101 – 98)

= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100

= 99 x 100 x 101

Như vậy: A = (99 x 100 x 101) : 3 = 333300