Chúng tôi xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ tài liệu Thể tích khối lăng trụ: Công thức tính và bài tập vận dụng, tài liệu bao gồm đầy đủ lí thuyết và các dạng bài tập Thể tích khối lăng trụ có đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập.
Mục lục bài viết
1. Hình lăng trụ là gì?
Hình lăng trụ là một hình học có các đặc điểm nhất định. Đây là một đa giác có mặt bên là hình bình hành và có hai mặt đáy song song và bằng nhau. Trong đó:
– Hình lăng trụ tam giác đều: Đây là loại hình lăng trụ có mặt đáy là một tam giác đều. Ví dụ, nếu bạn có một lăng trụ tam giác đều với mặt đáy là một tam giác có cả ba cạnh và góc trong bằng nhau, đó chính là hình lăng trụ tam giác đều.
Ví dụ cụ thể: Một lăng trụ tam giác đều có mặt đáy là tam giác đều có cạnh độ dài 5 đơn vị. Lăng trụ này sẽ có các mặt bên là các hình bình hành và chiều cao sẽ thể hiện khoảng cách giữa hai mặt đáy.
– Hình lăng trụ tứ giác đều: Đây là loại hình lăng trụ có mặt đáy là một hình tứ giác đều. Nếu bạn có một lăng trụ với mặt đáy là một hình tứ giác có cả bốn cạnh và bốn góc bằng nhau, đó sẽ là hình lăng trụ tứ giác đều.
2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
Thể tích: thể tích khối lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.
V = B.h
Trong đó:
- B: là diện tích đáy (đơn vị m2)
- H: chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)
- V: thể tích khối lăng trụ (đơn vị m3)
3. Các dạng hình lăng trụ:
Hình lăng trụ có nhiều dạng khác nhau, mỗi loại lại có đặc điểm riêng biệt:
– Lăng trụ đứng: Đây là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với phần đáy. Khi các cạnh này vuông góc với mặt đáy, chúng cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
– Lăng trụ đều: Đây là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Đặc điểm đáng chú ý ở đây là các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
– Hình hộp: Đây là hình lăng trụ có đáy chính là hình bình hành. Khi nhìn từ phía trên xuống, hình này sẽ trông giống như một hình bình hành thông thường.
– Hình hộp đứng: Là loại hình lăng trụ đứng với đáy là hình bình hành. Nói cách khác, khi nhìn từ trên xuống, bạn sẽ thấy hình bình hành là phần đáy của hình lăng trụ này.
– Hình hộp chữ nhật: Đây là hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật. Các mặt bên của nó sẽ là các hình chữ nhật.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông: Trong trường hợp đặc biệt này, khi cả đáy và các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông, ta gọi nó là hình lập phương.
Các loại hình lăng trụ này đều có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kiến trúc, kỹ thuật và toán học.
* Phương pháp tính thể tích lăng trụ:
Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện
– Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …
– Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …
– Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.
Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.
4. Một số bài tập tính thể tích khối lăng trụ và phương pháp giải:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là 
.
Dựng 
.
Do đó: 
Ta có: 
.
Thể tích khối lăng trụ là 
.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên ABB’A’ là AB’ 
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đó là:
Giải:
Ta có tam giác ABB’ có BB’= 
= a
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
V= 
.
Bài 3: (VDC) Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp với tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy (ABC) một góc 60 độ.
a, Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhất
b, Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a, Ta có BB’C’C là hình bình hành vì là mặt bên của hình lăng trụ.
H là trung điểm BC, vì 
Ta có: 
Mà AA’ song song với 
là hình chữ nhật.
b, 
bằng a
Bài 4: (VDC) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với 
. Hai mặt bên (ABB’A’)và (ADD’A’) tạo với đáy lần lượt các góc 
. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải:
Đặt A’H = x
Tứ giác AMHN là hình chữ nhật
Vậy 
= AB.AD.A’H= 3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, AA’ = 2a. Thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’ là
Lời giải
Ta có chiều cao của lăng trụ là AA’ = 2a.
Diện tích đáy là: 
Thể tích khối lăng trụ là: 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = a√3, góc giữa A’C và (ABC) bằng 450. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Tam giác vuông cân tại A, cạnh AB = a√3 => AC = a√3
Diện tích đáy ABC là: 
Góc giữa AC’ và (ABC) bằng 450 => 
Chiều cao AA‘ = a√3.tan450 = a√3
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 
Bài 7: Tính thể tích của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng √12 .
Đặt AB = a. Vì đáy là hình vuông => BD = a√2 .
Vì ΔBB‘D vuông tại B nên B‘D2 = BB‘2 + BD2 ⇔ 12 = a2 + 2a2
⇔ a = 2.
Vậy thể tích khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ là: VABCD. A’B’C’D’ = a3 = 23 = 8
5. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 2: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3a2 và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Câu 3: Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng
A. 8a3
B. 2a3
C. a3
D. 6a3
Câu 4: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông, AB = BC = a, cạnh bên A‘A = a√2. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BB’ = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a√2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Câu 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA’ = 3a (minh họa như hình vẽ bên).
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2√3a3. B. √3a3 C. 6√3a3 D. 3√3a3
Câu 8: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, A’C hợp với mặt đáy một góc 600. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo a bằng:
Câu 9: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA’ = 5 là
A. V = 30. B. V = 60.
C. V = 10. D. V= 20.
Câu 10: Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 2,26m3 B. 1,61m3
C. 1,33m3 D. 1,50m3
Câu 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A’O = a. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho.
Câu 12: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = AC = a, 
, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên AA’ = a. Thể tích của khối lăng trụ là
ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Đáp án | A | C | A | D | A | C | D | A | B | D | A | B |
