Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 | Toán 9 bài 4

1. Lý thuyết công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac

    + Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

    + Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

    + Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu phương trình ax² bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² – 4ac > 0 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

2. Bài tập tự luận công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Câu 1: Hãy giải phương trình x² – 5x + 4 = 0

Lời giải:

    + Tính Δ = (-5)² – 4.4.1 = 25 – 16 = 9 > 0

    + Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 4; x₂ = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x² – x + 2 = 0

Lời giải:

    + Tính Δ = (-1)² – 4.5.2 = -39 < 0

    + Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x² – 4x + 4 = 0.

Lời giải:

    + Tính Δ = (-4)² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0.

    + Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x₁ = x₂ = -4/(2.1) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Câu 4: Giải phương trình x² + 14x + 49 = 0; x² – 2x – 5 = 0

Lời giải:

Câu 5: Cho phương trình -x² + 2x + 2017²⁰¹⁷ = 0 . Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

Ta có: Δ=b² – 4ac

Nhận thấy: b² > 0; ac = -2017²⁰¹⁷ < 0 ⇒ -4ac > 0

Do đó: Δ = b² – 4ac > 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

3. Trắc nghiệm bài tập công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Câu 1: cho biết nghiệm của phương trình x² + 100x + 2500 = 0 là?

A. 50

B. -50

C. ± 50

D. ± 100

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b² – 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

A. Δ < 0

B. Δ = 0

C. Δ ≥ 0

D. Δ ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ =

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 =

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b² – 4ac. Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Lời giải:

– TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

– TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ =

– TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 =

Chọn đáp án C.

Câu 4: Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 6x² – 7x = 0

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 5: Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình -4x² + 9 = 0

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải:

Ta có:

Nên số nghiệm của phương trình là 2.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tìm m để phương trình đã cho vô nghiệm?

A. m > 9

B. m < 9

C.m < 4

D. m > 4

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho phương trình (m + 1)x² + 4x + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

A. m = -1

B. m = 0

C. m < 1

D. m ≤ 3

Lời giải:

– Với m = -1 thì phương trình đã cho trở thành: 4x + 1 = 0 ⇔ x = -1/4

Do đó, m = -1 thỏa mãn điều kiện.

– Nếu m ≠ -1 , khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.

Ta có: Δ = 4² – 4.(m + 1).1 = 16 – 4m – 4 = 12 – 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm khi: Δ = 12 – 4m ≥ 0

-4m ≥ – 12 ⇔ m ≤ 3

Kết hợp 2 trường hợp trên đã nêu, để phương trình đã cho có nghiệm thì có m ≤ 3 .

Chọn đáp án D.

Câu 8: Cho phương trình 2x² + 3x – 4 = 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. Phương trình đã cho có 2 nghiệm

B. Biệt thức ∆ = 41

C. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

D. Phương trình đã cho có 2 nghiệm âm.

Lời giải:

Ta có: Δ = 3² – 4.2.(-4) = 9 + 32 = 41 > 0

Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

Vậy C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 9: Trong các phương trình sau, phương trình nào có 1 nghiệm duy nhất.

A. x² – 4x+ 10 = 0

B. –2x² + 4x + 4 = 0

C. -3x² + 9 = 0

D. 4x² – 4x + 1 =0

Lời giải:

Ta tính ∆ của các phương trình đã cho:

A. ∆ = (-4)² – 4.1.10 = 16 – 40 = 24 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt

B. ∆ = 4² -4.(-2).4 = 16 + 32 = 48 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

C. ∆ = 0² – 4. (-2). 4 = 0 + 32 = 32 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

D. ∆ = (-4)² – 4.4.1 = 0 nên phương trình này có một nghiệm duy nhất.

Chọn đáp án D.

Câu 10: Tìm các giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x² và đường thẳng y = – 4x + 6

A. A(1; 2) và B(- 3; 18)

B. A(1; 2) và B(3; -6)

C. A( 3; -6) và B( -1; 10)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình này:

2x² = -4x + 6 2x² + 4x – 6 = 0 (*)

Phương trình này có Δ = 4² – 4.2.(-6) = 16 + 48 = 64

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

Với x = 1 thì y = -4. 1 + 6 = 2 ta được điểm A(1; 2).

Với x = -3 thì y = -4.(-3) = 18 ta được điểm B( -3; 18)

Vậy parabol cắt đường thẳng tại hai điểm là A( 1;2) và B(- 3 ; 18)

Chọn đáp án A.

Câu 11: Cho phương trình (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 1 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A. m > 0     

B. m < −1   

C. −1 < m < 0       

D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Phương trình (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1

Suy ra ∆’ = [− (m + 1)]² – (m + 1) = m² + m

Để phương trình (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Chọn đáp án D

Câu 12: Cho phương trình (m – 3)x² – 2mx + m − 6 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình vô nghiệm

A. m < −2   

B. m < 2     

C. m < 3     

D. m < −3

Lời giải:

Ta có phương trình (m – 3)x² – 2mx + m − 6 = 0 có a = m – 3; b’ = −m; c = m – 6

Suy ra ∆’ = (−m)² – (m − 3)(m – 6) = 9m – 18

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13: Cho phương trình mx² – 4(m – 1) x + 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Phương trình mx² – 4(m – 1) x + 2 = 0 có a = m; b’ = −2(m – 1); c = 2

Suy ra ∆’ = [−2(m – 1)]² – m.2 = 4m² – 10m + 4

TH1: m = 0 ta có phương trình 4x + 2 = 0  nên loại m = 0

TH2: m ≠ 0. Để phương trình vô nghiệm thì

Vậy chọn đáp án C