Với Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết về chuyên đề số phức:
1.1. Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả i2 = –1.
Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi/ a, b ∈ R và i2= –1}. Ta có R ⊂ C.
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a ∈ R ⊂ C
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
1.2. Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có z = z¢ ↔ a=a′; b=b′
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y + 1) = (2y + 1) + (3x – 7)i (1)
1.3. Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
zA=1+4i; zB=−3+0i; zC=0−2i; zD=4−i.
1.4. Môđun của số phức:
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM→ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 
VD: z = 3 – 4i có |z|=|3−4i|=
Chú ý: ∣z2∣=∣a2−b2+2abi∣=
1.5. Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của z là z¯=a−bi.
* Môđun số phức z = a + b.i (a; b ∈ R) |z|=|OM|=
Chú ý: |z|=|z¯|;∀z∈C
Hai điểm biểu diễn z và z¯ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
1.6. Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
1.7. Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’.i.
Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i2 = –1 và rút gọn, ta được:
k.z = k(a + bi) = ka + kb.i . Đặc biệt 0.z = 0 ∀z∈C
z¯ = (a + bi)(a – bi) hay z.z¯=a2+b2=|z|2
VD: Phân tích z2+ 4 thành nhân tử. z2 + 4 = z2 – (2i)2 = (z – 2i)(z + 2i).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
1.8. Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức z = a + bi ≠ 0 là z−1=1/z=z¯/|z|2 hay 1/a+bi=a−bi/a2+b2
Cho hai số phức z = a + bi ≠ 0 và z’ = a’ + b’i thì z′/z=z′.z¯/|z|2 hay a′+b′i/a+bi=(a′+b′i)(a−bi)/a2+b2
VD: Tìm z thoả (1 + 2i)z = 3z – i.
Ta có (3 – 1 – 2i)z = i ↔ z = i/2−2i ↔ z=i(2+2i)/4+4⇔z=−2+2i/8⇔z=−1/4+1/4/i
1.9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k ∈ N:
i4k=1;i4k+1=i;i4k+2=−1;i4k+3=−i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2−2i)13
z=[(2−2i)2]6(2−2i)=(8i)6(2−2i)=−86.2+86.2i=−219+219i
Phần thực a = −219, phần ảo b = 219
2. Chuyên đề tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:
– Phương pháp giải
Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di:
Cộng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d)i
– Dạng 2: Nhân, chia hai số phức
Nhân số phức: z1.z2 = (ac – bd) + (ad + bc). i
Chia số phức:
Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0 là
Thực hiện phép chia (c + di)/ (a + bi):
Ví dụ:
Cho hai số phức z1 = 1 + 10i và z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 có z1 có phần thực là:
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
Lời giải: Ta có: z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.
Đáp án: B
Bài 2: Hãy tính số phức z. Biết rằng: z = 10i – ( 2 + 2i).i
A. z = 2 + 8i
B. z = 8 – 2i
C. z = 8 + 2i
D. z = 2 – 8i
Lời giải: Ta có z = 10i – (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i
Đáp án: A
Bài 3: Cho hai số phức z = -2 + 3yi; z’ = ( x + 1)- 4i với x,y ∈ R.
Tìm x; y để z + i= z’ + 2
A. x = -5; y = -5/ 3
B. x = 5; y = 2
C. x = 2; y = 12/ 5
D. x = 1/ 4; y = -2
Lời giải:
Để z + i = z’ + 2
⇔ – 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2
⇔ – 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i
Do đó ta có hệ phương trình: -2 = x + 3 và 3y + 1 = -4 <=> x = -5 và y = -5/ 3
Đáp án: A
Bài 4: Cho z1 = a + 8i, z2 = 6 – 3i và z3 = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Tìm a, b để z1 + z2 = z3
A. a = 2; b = 5
B. a = 1; b = -5
C. a = 4; b = 5
D. a = 3; b = 1
Lời giải: Có: z1 + z2 = z3 nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi
⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi
⇔ a + 6 = 10 và 5 = 5
⇔ a = 4 và b = 5
Vậy a = 4; b = 5.
Đáp án: C
Bài 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
A. (√2 + i) – (1 + √2i)
B. (8 + 2i) + (- 8 + 2i)
C. (- 3 + i) – (3 – i)
D. (10 + 3i) – (-10 – 3i)
Lời giải:
Ta xét các phương án:
* (√2 + i) – (1 + √2i)= (√2 – 1) – (1 – √2) không là số thuần ảo.
* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.
* (-3 + i) – (3- i) = – 3 + i – 3 + i= – 6 + 2i không là số thuần ảo.
* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i = 20 + 6i không là số thuần ảo.
Đáp án: B
3. Bài tập rèn luyện:
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (1 – 2x) – i3–√ = 5–√ + (1 – 3y)i;
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
ĐS:
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| ≤ 1
c) 1 < |z| ≤ 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a2+b2=1, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a2+b2≤1, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1
4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
b) (1+i)2(2i)3/−2+i
5) Giải phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;
b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c) z/4−3i+(2−3i)=5−2i
Hướng dẫn
a) z = 1
b) z = 8/5−9/5i
c) z = 15 – 5i.
6) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng 1/2(z+z¯), phần ảo của số phức z bằng 1/2i(z−z¯)
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z=−z¯.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z=z¯.
Hướng dẫn
z=a+bi,z¯=a−bi (1)
a) Lấy vế cộng vế → Phần thực của số phức z bằng 1/2(z+z¯). Lấy vế trừ vế → phần ảo của số phức z bằng 1/2i(z−z¯).
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ↔ z+z¯=0⇔z=−z¯.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ↔ z−z¯=0⇔z=z¯.
