Căn bậc ba là gì? Điều kiện căn bậc 3? Cách tính căn bậc 3

Căn bậc ba là một kiến thức quan trọng trong chương trình học Toán lớp 9 sau khi các em học sinh học xong phần Căn bậc 2. Vậy Căn bậc ba là gì? Điều kiện căn bậc 3? Cách tính căn bậc 3. Cùng bài viết này tìm hiểu nhé.

1. Căn bậc ba là gì?

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a. Ta có Bạn Cần Biết Như vậy, Bạn Cần Biết

Theo đó, căn bậc ba của một số thực x hay một biểu thức là  X lần lượt là a hay A sao cho thỏa mã được điều kiện a³ = x và A³ = X.

Ký hiệu:

∛x = a (với x và a là số thực)

∛X = A (với X và A là biểu thức)

Số 3 trong căn bậc 3 được gọi là chỉ số căn.

Phép lấy căn bậc ba của một số hay một biểu thức được gọi là phép khai căn bậc ba.

Ví dụ:

∛27 = 3 vì 33 = 27

Nhận xét:

- Mọi số thực đều có căn bậc ba.

- Mỗi số thực a chỉ có duy nhất một căn bậc 3. Cụ thể:

+ Căn bậc ba của một số dương là số dương: Nếu a > 0 ⇒ ∛a > 0

+ Căn bậc ba của một số âm là một số âm: Nếu a < 0 ⇒ ∛a < 0

+ Căn bậc ba của số 0 là số 0: Nếu a = 0 ⇒ ∛a = 0

Tính chất:

Bạn Cần Biết

2. Điều kiện của căn bậc 3:

Khác với căn bậc 2, căn bậc 3 không yêu cầu số thực hay biểu thức trong căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 mà có thể là số âm và số dương tùy ý. Điều kiện của căn bậc ba sẽ tùy từng dạng bài mà điều kiện và tập xác định khác nhau, ví dụ đối với căn bậc 3 của một thương thì mẫu số luôn phải khác 0,…

3. Cách tính căn bậc 3:

- Dạng 1: Tính giá trị căn bậc 3 của số thực, của biểu thức

Phương pháp giải:

Để làm được dạng bài này, các em học sinh cần dựa vào định nghĩa căn bậc ba của một số Bạn Cần Biết và nắm được quy tắc đưa số, giá trị vào trong căn và ra ngoài căn. Cụ thể:

Bạn Cần Biết

- Dạng 2: So sánh các căn bậc 3 với nhau

Phương pháp giải: Khi làm dạng bài này, các em học sinh cần đưa các thừa số vào trogn dấu căn và thực hiện so sánh trong dấu căn theo quy tắc sau:

Bạn Cần Biết

- Dạng 3. Thực hiện các phép tính

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa căn bậc hai của một số, các tính chất nhân các căn bậc ba, chia các căn bậc ba.

- Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc 3

Phương pháp giải: Với dạng bài này, các em cần áp dụng các quy tắc biến đổi vào căn và thực hiện phương pháp khai căn để tìm giá trị.

Bạn Cần Biết

- Dạng 5. Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Đây là một trong những dạng toán khá phổ biến có sử dụng căn bậc ba. Không có phương pháp giải chung cho dạng toán này. Thông thường, có thể là tính toán trực tiếp, rút gọn,… Đối với các bài toán phức tạp thì thường là rút gọn về dạng đơn giản hơn, biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức để chứng minh. Sử dụng phối kết hợp 3 tính chất của căn bậc ba trên để làm bài.

4. Bài tập vận dụng và đáp án:

- Dạng 1:

Câu 1: Tìm căn bậc ba của các số sau:

-8; 0; 27; Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Căn bậc ba của -8 là -2 vì (-2)3 = -8

Căn bậc ba của 0 là 0 vì 03 = 0

Căn bậc ba của 27 là 3 vì 33 = 27

Căn bậc ba của Bạn Cần Biết

Câu 2. Hãy tìm:

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Câu 3. Hãy tìm:

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Câu 4. Hãy tìm:

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

- Dạng 2:

Câu 1. So sánh

a) 7 Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

48 < 54 nên Bạn Cần Biết

Câu 2. So sánh

a) Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết

b) Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết nên Bạn Cần Biết

b) Ta có:

Bạn Cần Biết

Vậy Bạn Cần Biết

Câu 3. Cho a < 0, hỏi số nào lớn hơn trong hai số Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 < 3 nên 2a > 3a (vì a < 0).

Do đó: Bạn Cần Biết

Câu 4: So sánh hai số sau: 7 và 23√43

Hướng dẫn giải

Ta có:

73 = 343

23√43 =Bạn Cần Biết = 3√344

Vì 343 < 344

=> 3√343 < 3√344

=> 7 < 23√43

Vậy 7 < 23√43

- Dạng 3:

Câu 1. Rút gọn các biểu thức

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Ta có: Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

b) Ta có: Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Câu 2. Tính

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

Nhận xét: Để tính tích trên có thể sử dụng hằng đẳng thức:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

Ta có: Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Câu 3. Tính

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Câu 4. Tính Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Để tính giá trị của A, ta tính A3 sau đó suy ra A.

Bạn nên nhớ hằng đẳng thức (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b).

Ta có:

Bạn Cần Biết

Vậy A = 1

Câu 5. Rút gọn biểu thức.

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

- Dạng 4:

Câu 1. Giải phương trình

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

Câu 2. Giải phương trình

Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Ta có: Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Câu 3. Giải các phương trình

a) Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm x = Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm x = Bạn Cần Biết

c) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 1; x = 2; x = 3

Câu 4. Giải phương trình:

a)Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

a) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

b) Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Câu 5: Giải các phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

- Dạng 5:

Câu 1. Chứng minh rằng nếu:

ax3 = by3 = cz3Bạn Cần Biết thì Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Ta đặt ax3 = by3 = cz3 = t suy ra

Bạn Cần Biết

Ta có:

Bạn Cần Biết

Ta lại có:

Bạn Cần Biết

Từ (1) và (2) ta có:

Bạn Cần Biết (đpcm)

Câu 2. Chứng minh đẳng thức:

Bạn Cần Biết

Từ đó suy ra bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm x, y, z: Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

Vậy ta có đẳng thức

Bạn Cần Biết

Suy ra với 3 số không âm x, y, z:

Bạn Cần Biết

Do đó:

Bạn Cần Biết

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.

Câu 3: Hãy chứng minh giá trị của biểu thức sau không bị ảnh hưởng bới biến:

Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:

Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bạn Cần BiếtBạn Cần Biết

Câu 5: Chứng minh rằng Bạn Cần Biết là một nghiệm của phương trình x3 - 3x2 - 2x - 8 = 0

Hướng dẫn giải

Bạn Cần Biết

    ⇔ x0 = 4

    Thay x0 = 4 vào phương trình x3 - 3x2 - 2x - 8 = 0 ta có đẳng thức đúng là:

    43 - 3.42 - 2.4 - 8 = 0

    Vậy x0 là nghiệm của phương trình x3 - 3x2 - 2x - 8 = 0

Câu 6: Cho xy ≠ ±2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y

Bạn Cần Biết

Hướng dẫn giải

Bài 5:

Bạn Cần Biết

    Đặt xy = a; ∛2 = b. Khi đó, biểu thức có dạng:

Bạn Cần Biết

    = 0

    Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x, y.

5. Một số câu hỏi bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: căn bậc 3 của 9 kí hiệu là gì?

A. 3√9

B. 9

C. 9√3

D. 2√9

Hướng dẫn giải

Dựa vào khái niệm của căn bậc 3. căn bậc 3 của 9 sẽ được viết dưới dạng 3√9.

Chọn A.

Câu 2: Kết quả của phép tính 3√27 – 3√125 là gì?

A. 2

B. -2

C. 3√98

D. –3√98

Hướng dẫn giải

Ta có: 3√27 – 3√125 = 3 – 5 = -2.

Chọn B.

Câu 3: Tìm giá trị của x để Bạn Cần Biếtcó nghĩa. Chọn câu đúng nhất. 

A. x = 4

B. x = 5

C. x= 8

D. x là số thực

Hướng dẫn giải

Tất cả các số thực đều có căn bậc 3. Do đó để Bạn Cần Biếtcó nghĩa thì 16x -5 phải là số thực => x là số thực.

Chọn D.

Câu 4: Kết quả của phép tính Bạn Cần Biết là gì?

A. 14

B. 16

C. 18

D. 12

Hướng dẫn giải

Ta có: Bạn Cần Biết=2-(-6)+8=16

Chọn B.

Câu 5: Rút gọn biểu thức: Bạn Cần Biết

A. a + b

B. a – b

C. a.b

D. a/b

Hướng dẫn giải

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương ta được:Bạn Cần Biết=(3√a)3 – (3√b)3 = a – b.

Chọn B.

Câu 6: Giải phương trình (23√x+5)(23√x-5)=-21

A. x = -1

B. x = 3

C. x = -1 hoặc x = 1

D. x = 3 hoặc x = -3

Hướng dẫn giải

Sử dụng hằng đẳng thức ta được: (23√x)2 – 25 = -21=> 43√x2=4=> x2=1. Vậy x = 1 hoặc x = -1.

Chọn C.

Câu 7: Đâu không phải là tính chất của căn bậc ba. 

A. x < y ⬄ 3√x < 3√y

B. 3√x.y = 3√x . 3√y

C. Bạn Cần Biết

D. x = y ⬄ 3√x < y

Hướng dẫn giải

Dựa vào các tính chất liệt kê ở phần đầu, dễ nhận thấy các tính chất của căn bậc ba bao gồm các đáp án A, B và C.

Chọn D.

    5 / 5 ( 1 bình chọn )