Căn bậc ba là một kiến thức quan trọng trong chương trình học Toán lớp 9 sau khi các em học sinh học xong phần Căn bậc 2. Vậy Căn bậc ba là gì? Điều kiện căn bậc 3? Cách tính căn bậc 3. Cùng bài viết này tìm hiểu nhé.
Mục lục bài viết
1. Căn bậc ba là gì?
Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a. Ta có 
Như vậy, 
Theo đó, căn bậc ba của một số thực x hay một biểu thức là X lần lượt là a hay A sao cho thỏa mã được điều kiện a³ = x và A³ = X.
Ký hiệu:
∛x = a (với x và a là số thực)
∛X = A (với X và A là biểu thức)
Số 3 trong căn bậc 3 được gọi là chỉ số căn.
Phép lấy căn bậc ba của một số hay một biểu thức được gọi là phép khai căn bậc ba.
Ví dụ:
∛27 = 3 vì 33 = 27
Nhận xét:
– Mọi số thực đều có căn bậc ba.
– Mỗi số thực a chỉ có duy nhất một căn bậc 3. Cụ thể:
+ Căn bậc ba của một số dương là số dương: Nếu a > 0 ⇒ ∛a > 0
+ Căn bậc ba của một số âm là một số âm: Nếu a < 0 ⇒ ∛a < 0
+ Căn bậc ba của số 0 là số 0: Nếu a = 0 ⇒ ∛a = 0
Tính chất:
2. Điều kiện của căn bậc 3:
Khác với căn bậc 2, căn bậc 3 không yêu cầu số thực hay biểu thức trong căn phải lớn hơn hoặc bằng 0 mà có thể là số âm và số dương tùy ý. Điều kiện của căn bậc ba sẽ tùy từng dạng bài mà điều kiện và tập xác định khác nhau, ví dụ đối với căn bậc 3 của một thương thì mẫu số luôn phải khác 0,…
3. Cách tính căn bậc 3:
– Dạng 1: Tính giá trị căn bậc 3 của số thực, của biểu thức
Phương pháp giải:
Để làm được dạng bài này, các em học sinh cần dựa vào định nghĩa căn bậc ba của một số 
và nắm được quy tắc đưa số, giá trị vào trong căn và ra ngoài căn. Cụ thể:
– Dạng 2: So sánh các căn bậc 3 với nhau
Phương pháp giải: Khi làm dạng bài này, các em học sinh cần đưa các thừa số vào trogn dấu căn và thực hiện so sánh trong dấu căn theo quy tắc sau:
– Dạng 3. Thực hiện các phép tính
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa căn bậc hai của một số, các tính chất nhân các căn bậc ba, chia các căn bậc ba.
– Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc 3
Phương pháp giải: Với dạng bài này, các em cần áp dụng các quy tắc biến đổi vào căn và thực hiện phương pháp khai căn để tìm giá trị.
– Dạng 5. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Đây là một trong những dạng toán khá phổ biến có sử dụng căn bậc ba. Không có phương pháp giải chung cho dạng toán này. Thông thường, có thể là tính toán trực tiếp, rút gọn,… Đối với các bài toán phức tạp thì thường là rút gọn về dạng đơn giản hơn, biến đổi hai vế của đẳng thức cùng bằng một biểu thức để chứng minh. Sử dụng phối kết hợp 3 tính chất của căn bậc ba trên để làm bài.
4. Bài tập vận dụng và đáp án:
– Dạng 1:
Câu 1: Tìm căn bậc ba của các số sau:
-8; 0; 27; 
Hướng dẫn giải
Căn bậc ba của -8 là -2 vì (-2)3 = -8
Căn bậc ba của 0 là 0 vì 03 = 0
Căn bậc ba của 27 là 3 vì 33 = 27
Căn bậc ba của 
Câu 2. Hãy tìm:
a) 
b) 
c) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
c) 
Câu 3. Hãy tìm:
a) 
b) 
c) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
c) 
Câu 4. Hãy tìm:
a) 
b) 
c) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
c) 
– Dạng 2:
Câu 1. So sánh
a) 7 và 
b) và
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
48 < 54 nên 
Câu 2. So sánh
a) 
và 
b) 
và 
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vì 
nên 
b) Ta có:
Vậy 
Câu 3. Cho a < 0, hỏi số nào lớn hơn trong hai số 
và 
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 < 3 nên 2a > 3a (vì a < 0).
Do đó: 
Câu 4: So sánh hai số sau: 7 và 23√43
Hướng dẫn giải
Ta có:
73 = 343
23√43 =
= 3√344
Vì 343 < 344
=> 3√343 < 3√344
=> 7 < 23√43
Vậy 7 < 23√43
– Dạng 3:
Câu 1. Rút gọn các biểu thức
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Câu 2. Tính
a)
b) 
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Để tính tích trên có thể sử dụng hằng đẳng thức:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Ta có: 
Câu 3. Tính
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a)
b)
Câu 4. Tính 
Hướng dẫn giải
Để tính giá trị của A, ta tính A3 sau đó suy ra A.
Bạn nên nhớ hằng đẳng thức (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b).
Ta có:
Vậy A = 1
Câu 5. Rút gọn biểu thức.
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
– Dạng 4:
Câu 1. Giải phương trình
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
Câu 2. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 3. Giải các phương trình
a) 
b) 
c) 
Hướng dẫn giải
a) 
Vậ
b) 
Vậy phương trình có nghiệm x = 
c) 
Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 1; x = 2; x = 3
Câu 4. Giải phương trình:
a)
b) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
Câu 5: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải
– Dạng 5:
Câu 1. Chứng minh rằng nếu:
ax3 = by3 = cz3 và 
thì 
Hướng dẫn giải
Ta đặt ax3 = by3 = cz3 = t suy ra
Ta có:
Ta lại có:
Từ (1) và (2) ta có:
(đpcm)
Câu 2. Chứng minh đẳng thức:
Từ đó suy ra bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm x, y, z: 
Hướng dẫn giải
Vậy ta có đẳng thức
Suy ra với 3 số không âm x, y, z:
Do đó:
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
Câu 3: Hãy chứng minh giá trị của biểu thức sau không bị ảnh hưởng bới biến:
Hướng dẫn giải
Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:
Hướng dẫn giải
Câu 5: Chứng minh rằng 
là một nghiệm của phương trình x3 – 3x2 – 2x – 8 = 0
Hướng dẫn giải
⇔ x0 = 4
Thay x0 = 4 vào phương trình x3 – 3x2 – 2x – 8 = 0 ta có đẳng thức đúng là:
43 – 3.42 – 2.4 – 8 = 0
Vậy x0 là nghiệm của phương trình x3 – 3x2 – 2x – 8 = 0
Câu 6: Cho xy ≠ ±2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
Hướng dẫn giải
Bài 5:
Đặt xy = a; ∛2 = b. Khi đó, biểu thức có dạng:
= 0
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x, y.
5. Một số câu hỏi bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: căn bậc 3 của 9 kí hiệu là gì?
A. 3√9
B. 9
C. 9√3
D. 2√9
Hướng dẫn giải
Dựa vào khái niệm của căn bậc 3. căn bậc 3 của 9 sẽ được viết dưới dạng 3√9.
Chọn A.
Câu 2: Kết quả của phép tính 3√27 – 3√125 là gì?
A. 2
B. -2
C. 3√98
D. –3√98
Hướng dẫn giải
Ta có: 3√27 – 3√125 = 3 – 5 = -2.
Chọn B.
Câu 3: Tìm giá trị của x để 
có nghĩa. Chọn câu đúng nhất.
A. x = 4
B. x = 5
C. x= 8
D. x là số thực
Hướng dẫn giải
Tất cả các số thực đều có căn bậc 3. Do đó để có nghĩa thì 16x -5 phải là số thực => x là số thực.
Chọn D.
Câu 4: Kết quả của phép tính 
là gì?
A. 14
B. 16
C. 18
D. 12
Hướng dẫn giải
Ta có: 
=2-(-6)+8=16
Chọn B.
Câu 5: Rút gọn biểu thức: 
A. a + b
B. a – b
C. a.b
D. a/b
Hướng dẫn giải
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu 2 lập phương ta được:
=(3√a)3 – (3√b)3 = a – b.
Chọn B.
Câu 6: Giải phương trình (23√x+5)(23√x-5)=-21
A. x = -1
B. x = 3
C. x = -1 hoặc x = 1
D. x = 3 hoặc x = -3
Hướng dẫn giải
Sử dụng hằng đẳng thức ta được: (23√x)2 – 25 = -21=> 43√x2=4=> x2=1. Vậy x = 1 hoặc x = -1.
Chọn C.
Câu 7: Đâu không phải là tính chất của căn bậc ba.
A. x < y ⬄ 3√x < 3√y
B. 3√x.y = 3√x . 3√y
C. 
D. x = y ⬄ 3√x < y
Hướng dẫn giải
Dựa vào các tính chất liệt kê ở phần đầu, dễ nhận thấy các tính chất của căn bậc ba bao gồm các đáp án A, B và C.
Chọn D.
