Bài viết Cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng.
Mục lục bài viết
1. Cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng:
* Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định
– Điểm A(x0, y0) ∈ ∆
– Một vectơ chỉ phương u→(a; b) của ∆
Khi đó phương trình tham số của ∆ là 
, t ∈ R.
– Điểm A(x0, y0) ∈ ∆
– Một vectơ chỉ phương u→(a; b), ab ≠ 0 của ∆ của
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là 
(trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)
Chú ý:
– Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
– Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại
– Nếu ∆ có VTCP u→ = (a; b) thì n→ = (-b; a) là một VTPT của ∆ .
2. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( -2; 3) và có VTCP u→ = (1; -4) .
Lời giải
Đường thẳng (d) đi qua M(-2; 3) và có VTCP u→ = (1; -4) nên có phương trình
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ u→ = (1; 2) làm vectơ chỉ phương.
A. ∆: 2x – y – 5 = 0 B. ∆: 
C. ∆: 
D. ∆: 
Lời giải
Đường thẳng ∆ : 
⇒ Phương trình chính tắc của ∆: =
Chọn B
Ví dụ 3. Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; -2) và có vectơ chỉ phương u→ = (3; 5) có phương trình tham số là:
A. d: 
B. d: 
C. d: 
D. d: 
Lời giải
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d: 
(t ∈ R)
Chọn B.
Ví dụ 4. Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B( 1; -7) có phương trình tham số là:
Lời giải
+ Ta có đường thẳng AB: 
⇒ Phương trình AB: 
+ Cho t= – 3 ta được : M( 0; -7) thuộc đường thẳng AB.
⇒ AB: 
⇒ Phương trình tham số của AB : 
Chọn A.
Ví dụ 5: Viết phương thẳng chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1; – 2) và B(-2; 3) ?
Lời giải
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm M( -2; -3) và N( 1; 0). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d?
Lời giải
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 0) nhận vecto u→( 2; -3) làm VTCP. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?
Lời giải
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hai điểm A( -2; 3) và B( 4; 5). Gọi d là đường trung trực của AB. Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc?
Lời giải
+ Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên hai đường thẳng AB và d vuông góc với nhau.
⇒ Đường thẳng d nhận AB→( 6; 2) làm VTPT nên một VTCP của đường thẳng d là u→(1; -3) .
+ Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ M(1;4)
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Chọn D.
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có A( 1;1); B( 0; -2) và C( 4; 2) . Lập phương trình chính tắc đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ A
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM.
Ta có M là trung điểm của BC nên tọa độ của M là :
⇒ M( 2 ; 0)
Đường thẳng AM : 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng AM : 
Chọn A
3. Bài tập vận dụng:
Câu 1: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u→ = (-1; 2) có phương trình tham số là:
Lời giải:
Đáp án: C
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình tham số d: 
(t ∈ R)
Câu 2: Đường thẳng d đi qua điểm M( 0; -2) và có vectơ chỉ phương u→( 3;0) có phương trình tham số là:
Lời giải:
Đáp án: D
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình tham số của đường thẳng d: 
(t ∈ R)
Câu 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; -1) và B( 2; 5)
Lời giải:
Đáp án: A
Đường thẳng AB:
⇒ Phương trình tham số của đường thẳng AB: 
Câu 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;3) và B( 3;1) .
Lời giải:
Đáp án: D
Đường thẳng AB: 
⇒ Phương trình tham số của đường thẳng AB:
Câu 5: Đường thẳng đi qua hai điểm A( 1; 1) và B( 2; 2) có phương trình tham số là:
Lời giải:
Đáp án: D
Phương trình tham số của đường thẳng AB: 
⇒ Phương trình tham số của AB: 
Cho t= – 1 ta được điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng AB.
⇒ AB: 
⇒ Phương trình tham số của AB: 
Câu 6: Viết phương thẳng chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A(-1; 3) và B(5; 1) ?
Lời giải:
Đáp án: A
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Câu 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3;2) nhận vecto u→( -4; -2) làm VTCP. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?
Lời giải:
Đáp án: B
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Câu 8: Cho hai điểm A(-1; -2) và B(1;4). Gọi d là đường trung trực của AB. Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc?
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên hai đường thẳng AB và d vuông góc với nhau.
⇒ Đường thẳng d nhận AB→( 2;6) làm VTPT nên một VTCP của đường thẳng d là u→(3; -1) .
+ Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ M(0;1)
Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 
Câu 9: Cho tam giác ABC có A( -1; -2) ;B(0; 2) ; C(-2; 1). Đường trung tuyến BM có phương trình là:
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi M là trung điểm AC. Khi đó tọa độ của M là :
⇒ M( -3/2 ; -1/2 ) ; BM→ = (- 3/2 ; – 5/2 ) = -1/2 (3; 5)
+ Đường thẳng BM: qua B( 0; 2) và nhận VTCP ( 3; 5)
⇒ Phương trình tham số của BM: x=3t; y=2+5t
Hướng dẫn giải
a. Gọi điểm M(x, y) thuộc d ta có:
Phương trình chính tắc là: 
b. Ta có đường thẳng y = 2x + 1 có vecto pháp tuyến 
Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên VTPT n của y = 2x + 1 là VTCP u của d 
Ta có phương trình tham số của d là: 
Phương trình chính tắc của d là: 
c. Do d song song với đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0
Phương trình tham số của d là: 
Phương trình chính tắc của d là: 
Hướng dẫn giải
a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận 
làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 
b. Ta có d song song với 
Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
Phương trình chính tắc của d là: 
