Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là một dạng toán cũng khá phức tạp có trong chương trình học. Dưới đây là bài viết liên quan đến nội dung Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu. Mời quý bạn đọc tham khảo để biết thêm thông tin hữu ích.
Mục lục bài viết
1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm:
a. Sử dụng định nghĩa
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Tính: 
(vectơ chỉ phương của đường thẳng d)
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: 
Bước 3: Phương trình đường thẳng d:
b. Sử dụng phương trình tổng quát
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n
Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: 
nhận 
làm vectơ pháp tuyến.
Phương pháp giải
Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b
Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là các điểm cực trị thì f'(x1) = f'(x2) = 0
Do đó, ta có 
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b
3. Phương trình tham số của đường thẳng:
– Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0) nhận 
làm vecto chỉ phương, Ta có:
4. Ví dụ minh hoạ:
Hướng dẫn giải
| Cách 1: Sử dụng định nghĩa | Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát |
 Phương trình tham số:   Phương trình tổng quát:  |  Phương trình tham số:  Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:  Vậy PT tổng quát cần tìm là: y = x + 1 |
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
Vậy PT tổng quát cần tìm là: 
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: 
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:
b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)
⇒ 1 = 3.(-2) + b ⇒ b = 7
Vậ
Lời giải
Ta có y’ = 6x2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2)
Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2 – 36(m – 2) > 0 ⇔ 9(m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3
Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
d: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3
Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1
Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
* Lời giải:
– Vì (d) đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4) nên (d) có VTCP là:
= (xB – xA;yB – yA) = (3-1;4-2) = (2;2)
⇒ Phương trình tham số của (d) đi qua A là: 
* Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M(4;0) và N(0;-1)
* Lời giải:
– Vì (d) đi qua 2 điểm M(4;0) và N(0;-1) nên (d) có VTCP là:
= (0-4;-1-0) = (-4;-1)
⇒ Phương trình tham số của (d) là: 
Các em cũng có thể viết ngay pt chính tắc của (d) qua MN là:
⇔ x – 4y – 4 = 0 (pt tổng quát)
* Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(2;1), B(-4;5)
* Lời giải:
– Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(2;1), B(-4;5) có pt (chính tắc):
⇔ 4(x – 2) = -6(y – 1)
⇔ 4x + 6y – 14 = 0
⇔ 2x + 3y – 7 = 0 (pt tổng quát)
Ví dụ 7: Viết phương trình đường thẳng biết
a) Có hệ số góc là 2 và đi qua điểm A(1; -1)
b) Song song với đường thẳng y = x + 1 và đi qua điểm B (1;3)
c) Đi qua 2 điểm A (1;1 ) và C(3; -2)
Lời giải:
a) Gọi phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là y = ax +b
Đường thẳng có hệ số góc là 2 => a = 2 (1)
Đường thẳng đi qua điểm A (1; -1) ó a + b = -1 (2)
Giải (1) và (2) => a = 2 và b = -2
Vậy y = 2x – 3 là phương trình cần tìm
b) Gọi phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là y = ax +b
Đường thẳng song song với y = x + 1 nên a = 1 (3)
Đường thẳng đi qua B(1;3) => a + b =3 (4)
Từ (3) và (4) ta có: a = 1 và b = 2
Vậy y = x + 2 là phương trình cần tìm
c) Gọi phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là y = ax +b
Do đường thẳng đi qua 2 điểm nên ta có hệ phương trình sau:
a + b = 1 và 3a + b = -2
Giải hệ ta được a = -3/2 và b = 5/2
Vậy y = -3/2. x + 5/2 là phương trình cần tìm
Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x3 – 2x2 – x + 1
Lời giải
Ta có y’ = 3x2 – 4x – 1, y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được 
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình 
Ví dụ 9: Biết đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là
AB: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.
Lời giải
Ta có y’ = 6x2 + 6(m – 1)x + 6(m – 2)
Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ’ > 0 ⇔ 9(m – 1)2 – 36(m – 2) > 0 ⇔ 9(m – 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3
Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
d: y = (-m2 + 6m – 9)x – m2 + 3m – 3
Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1
Ví dụ 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0
Lời giải
Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m; y’ = 0 ⇔ 3x2-6x + m = 0
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3(*)
Thực hiện phép chia y cho y’, suy ra phương trình AB: 
Đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 được viết lại 
Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là 
(thỏa mãn (*))
Với m = 0 hàm số có dạng y = x3 – 3x2 có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)
Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)
Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.
