Skip to content

 

Home

Trang thông tin tổng hợp hàng đầu Việt Nam

  • Trang chủ
  • Giáo dục
  • Kinh tế tài chính
  • Cuộc sống
  • Sức khỏe
  • Đảng đoàn
  • Văn hóa tâm linh
  • Công nghệ
  • Du lịch
  • Biểu mẫu
  • Danh bạ
  • Liên hệ

Home

Trang thông tin tổng hợp hàng đầu Việt Nam

Đóng thanh tìm kiếm

Trang chủ Giáo dục

Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao

  • 02/02/202402/02/2024
  • bởi Bạn Cần Biết
  • Bạn Cần Biết
    02/02/2024
    Theo dõi Bạn Cần Biết trên Google News

    Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao bao gồm tất tần tật các công thức tính đạo hàm và các dạng toán tính đạo hàm bao gồm đầy đủ kiến thức để các em học sinh áp dụng sử dụng giải các bài tập về đạo hàm.

      Mục lục bài viết

      • 1 1. Lý thuyết về đạo hàm:
      • 2 2. Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao:
        • 2.1 2.1. Kiến thức đạo hàm cơ bản:
        • 2.2 2.2. Kiến thức đạo hàm sơ cấp:
        • 2.3 2.3. Kiến thức đạo hàm cao cấp:
      • 3 3. Các dạng bài tập đạo hàm:



      1. Lý thuyết về đạo hàm:

      Đạo hàm là một sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm trong hình học là hệ số góc của một tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời điểm trên dây dẫn.

      Đạo hàm được ứng dụng khá nhiều trong thực tiễn. Đạo hàm có thể cho bạn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế để ứng dụng đầu tư vào chứng khoán tốt nhất. Đạo hàm cũng có thể áp dụng để cho biết tốc độ gia tăng dân số từng vùng cụ thể. Có thể xác định tốc độ phản ứng hóa học của các chất, gia tốc của chuyển động, tính toán tốc độ.

      Ngoài ra, người ta còn áp dụng đạo hàm tình giá trị lớn nhất nhỏ nhất ở đâu để có thể tối ưu hóa các hoạt động trong cuộc sống. Khi hàm số đạt giá trị cực đại thì đạo hàm bằng 0 (tuy nhiên cũng sẽ có ngoại lệ). Từ đó, có thể biết đại lượng có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở đâu để tối ưu hóa theo mong muốn đề ra. Kiến thức toán học không phải nhàm chán, vô dụng, thực tế người nắm được toán học trong tay sẽ là người thành công trong cuộc sống.

      2. Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao:

      Đạo hàm có lẽ đối với nhiều bạn học sinh là một kiến thức khó, nhiều công thức tính, nhiều bài tập khó giải quyết. Tuy nhiên, khi ghi nhớ các công thức tính và biết cách vận dụng thì toán học trở lên đơn giản hơn. Dưới đây là tất cả các công thức tính đạo hàm từ đơn giản đến nâng cao bạn cần nhớ:

      2.1. Kiến thức đạo hàm cơ bản:

      + Đạo hàm của hằng số luôn bằng 0, được ký hiệu như sau:

      (c)’ = 0

      + Đạo hàm của một tổng sẽ bằng tổng các đạo hạm, được ký hiệu như sau:

      (u + v)’ = u’ + v’

      (u1 + u2 + … + un)’ = u1’ + u2’ + … + un’

      + Đạo hàm của một tích sẽ được tính như sau:

      (u x v)’ = (u)’ x v + (v)’ x u

      + Đạo hàm của một thương sẽ dược tính như sau:

      (u/v)’ = [(u)’ x v – (v)’ x u] : v2

      + Quy tắc tính đạo hàm số hợp:

      Nếu y = y(u(x)) thì y’(x) = y’(u) x u’(x)

      Đạo hàm của f(x) với x là biến số có các công thức như sau:

      (kx)’ = k

      (xn)’ = nxn – 1

      (1/ x)’ = -1/ (x2)

      (√x)’ = 1/(2√x)

      (sin x)’ = cos x

      (cos x)’ = – sin x

      (tan x)’ = 1 + tan2 x = 1/ (cos2 x)

      (cot x)’ = – (1 + cot2 x) = – 1/ (sin2 x)

      (ex)’ = ex

      (ax)’ = ax x ln a

      (ln x)’ = (ln |x|)’ = 1/x

      (Loga x)’ = (loga |x|)’ = 1/ (x x ln a)

      + Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số:

      (ku)’ = k x u’

      (un)’ = nun – 1 x u’

      (1/ u)’ = -(u)’/ (u2)

      (√u)’ = (u)’/(2√u)

      (sin u)’ = cos u x u’

      (cos u)’ = – sin u x u’

      (tan u)’ = (1 + tan2 u) x u’ = (u)’/ (cos2 u)

      (cot u)’ = – (1 + cot2 u) x u’ = – (u’) / (sin2 u)

      (eu)’ = eu x u’

      (au)’ = au x ln a x u’

      (ln u)’ = (ln |u|)’ = (u)’/u

      (Loga u)’ = (loga |u|)’ = (u)’/ (u x ln a)

      2.2. Kiến thức đạo hàm sơ cấp:

      (c)’ = 0

      (xa) = a.xa-1 với a thuộc R

      (n√x)’ = 1/ [n. n√(xn-1 )] với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

      (n√u)’ = (u)’/ [n. n√(un-1 )] với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

      2.3. Kiến thức đạo hàm cao cấp:

      [(xm)n]’ = m. (m – 1). (m -2)… (m – n + 1). Xm – n nếu m ≥ n

      [(xm)n]’ = 0 nếu m < n

      [(Loga x)n]’ = (- 1)n – 1. [(n -1)!]/ ln a. xn

      [(ln x)n]’ = (- 1)n -1. (n – 1)!. x-n

      [(ekx)n] = kn. ekx

      [(Sin ax)n]’ = an. sin( ax + n. ℼ/2)

      [(ax)n]’ = (ln a)n. ax

      [(Cos ax)n]’ = an. sin( ax + n. ℼ/2)

      + Phân thức số hữu tỷ:

      3. Các dạng bài tập đạo hàm:

      Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa.

      Áp dụng công thức:

      f ’ (x) = lim(x → x0) [f  (x) –  f  (x0)]/ (x –x0)

      Ví dụ: Cho hàm số f  (x) = 2x2 + x + 1. Tính f ’ (2)?

      Đáp án: Áp dụng công thức, ta có:

      f ’ (2) = lim(x → 2) [f  (x) –  f  (2)]/ (x – 2)

      = lim(x → 2) [2x2 + x + 1 – (2. 22 + 2 + 1)] : (x – 2)]

      = lim(x → 2) [2x2 + x – 10] : (x – 2)

      = lim(x → 2) [(2x + 5). (x – 2)] : (x – 2) = lim(x → 2) (2x + 5) = 9

      Dạng 2: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm.

      Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số f  (x) = 2x2 + x + 1:

      Đáp án: f ’ (x) = (2x2 + x + 1)’

      Áp dụng công thức đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm, ta có:

      f ’ (x) = 4x + 1

      Dạng 3: Chứng minh, giải phương trình, bất phương trình.

      Ví dụ: Cho hàm số f  (x) = x3 – x2 + 3mx + 2023. Tìm tham số m để phương trình f ’ (x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

      Đáp án:

      f  (x) = x3 – x2 + 3mx + 2023 => f ’ (x) = 3x2 – 2x + 3m

      Mà f ’ (x) = 0 (theo đề bài)

       => 3x2 – 2x + 3m = 0

      Để phương trình trên có 2 nghiệp dương phân biệt thì:

      ∆’ > 0  =>  1 – 9m > 0

      P > 0 => m > 0

      a ≠ 0 => 3 ≠ 0 (luôn đúng)

      S > 0 => 2/3 > 0 ( luôn đúng)

      => 0 < m < 1/9

      Vậy giá trị của m trong khoảng (0; 1/9)

      Dạng 4: Bài tập liên quan đạo hàm của hàm số lượng giác.

      Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:

      Y = Sinx – 3cosx

      Đáp án:

      Áp dụng bảng đạo hàm của hàm số lượng giác ta có:

      Y’ = cosx + 3sinx

      Dạng 5: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm:

      Ví dụ: Cho y = tanx, chứng minh y’ – y2 – 1 = 0.

      Đáp án:

      Điều kiện xác định: x ≠ ℼ/2 + kℼ, k là số nguyên.

      Ta có:

      Y’ = tan’x = 1 + tan2 x

      Thay y’ và y vào phương trình y’ – y2 – 1 ta có:

      1 + tan2 x  – tan2x – 1 = 0 (đpcm)

      Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm hoặc hoành độ, tung độ.

      Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại M(1;0) thuộc đồ thị (C): y = 2x2 +5x -1.

      Đáp án:

      Tập xác định D = R

      Ta có: y’ = (2x2 +5x -1)’ = 4x + 5 => Hệ số góc k tại y’(0) = 5

      Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

      ∆ = y’(0). (x – 0) + 1 = 5x + 1

      Dạng 7: Viết phương trình tiếp tuyết khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng.

      Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C):

      Y = x3 – 3x + 2, biết tiếp tuyến song song với d: y = 3x – 2

      Đáp án:

      Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của ∆ và (C).

      Ta có: Y’ = 2x – 3 mà ∆ // d => y’(x0) = 3

      ó 2x – 3 = 3 => x = 3 => M(3;2)

      Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M là:

      ∆: y = 3( x -3) + 2 = 3x – 7

      Dạng 8: Bài toán xác định hệ sống góc lớn nhất, nhỏ nhất của tiếp tuyến.

      Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C): y = 2x3 -3x2 + 1, biết ∆ có hệ số góc nhỏ nhất.

      Đáp án:

      Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của ∆ và (C).

      Ta có y’ =6x2 -6x => hệ số góc k = y’(x0) = 6x20 – 6x0

      Xác định hệ số góc nhỏ nhất:

      Ta có: k = 6x20 – 6x0 = 6(x20 – x0 + ¼) – 3/2 = 6.(x0 – ½)2 – 3/2

      6.(x0 – ½)2 – 3/2 ≥ -3/2

      Do đó, kmin = -3/2 khi và chỉ khi x0 = ½

      Chọn điểm M(½; ½)

      Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M khi k nhỏ nhất là: y = (-3/2)x + 5/4

      Dạng 9: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm mà tiếp tuyến đi qua.

      Dạng 10: Tìm tham số để từ một điểm ta kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.

      5
      /
      5
      (
      1

      bình chọn

      )
      Gọi luật sư ngay
      Tư vấn luật qua Email
      Đặt lịch hẹn luật sư
      Đặt câu hỏi tại đây
      CÙNG CHUYÊN MỤC
      • Thảo luận về cách hành xử phù hợp khi bị bắt nạt hay nhất
      • Các dạng đề thi THPT quốc gia về Người lái đò sông Đà
      • Theo em, vì sao các vương triều Đại Việt quan tâm đến giáo dục khoa cử?
      • Tả quang cảnh một phiên chợ Tết chọn lọc hay nhất lớp 6
      • Qua bài Nói với con, nhà thơ muốn gửi gắm điều gì?
      • Nguồn lương thực chính của cư dân Văn Lang – Âu Lạc là?
      • Biện pháp có ý nghĩa hàng đầu để bảo vệ đa dạng sinh học của nước ta là?
      • Sự suy giảm đa dạng sinh học ở nước ta không có biểu hiện nào dưới đây?
      • Phương thức biểu đạt của bài thơ Khi con tu hú là gì?
      • Đa dạng sinh học: Lý thuyết Khoa học tự nhiên 6 Bài 33
      • Đại Việt thời Trần (1226-1400) Lý thuyết Lịch Sử 7 Bài 13
      • Tình trạng đô thị hóa tự phát ở Mĩ La Tinh là do?
      BÀI VIẾT MỚI NHẤT
      • Thảo luận về cách hành xử phù hợp khi bị bắt nạt hay nhất
      • Các dạng đề thi THPT quốc gia về Người lái đò sông Đà
      • Theo em, vì sao các vương triều Đại Việt quan tâm đến giáo dục khoa cử?
      • Tả quang cảnh một phiên chợ Tết chọn lọc hay nhất lớp 6
      • Qua bài Nói với con, nhà thơ muốn gửi gắm điều gì?
      • Nguồn lương thực chính của cư dân Văn Lang – Âu Lạc là?
      • Biện pháp có ý nghĩa hàng đầu để bảo vệ đa dạng sinh học của nước ta là?
      • Sự suy giảm đa dạng sinh học ở nước ta không có biểu hiện nào dưới đây?
      • Phương thức biểu đạt của bài thơ Khi con tu hú là gì?
      • Đa dạng sinh học: Lý thuyết Khoa học tự nhiên 6 Bài 33
      • Đại Việt thời Trần (1226-1400) Lý thuyết Lịch Sử 7 Bài 13
      • Tình trạng đô thị hóa tự phát ở Mĩ La Tinh là do?
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Giáo dục
      • Kinh tế tài chính
      • Cuộc sống
      • Sức khỏe
      • Đảng Đoàn
      • Văn hóa tâm linh
      • Công nghệ
      • Du lịch
      • Biểu mẫu
      • Danh bạ
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Giáo dục
      • Kinh tế tài chính
      • Cuộc sống
      • Sức khỏe
      • Đảng Đoàn
      • Văn hóa tâm linh
      • Công nghệ
      • Du lịch
      • Biểu mẫu
      • Danh bạ


      Tìm kiếm

      Logo

      Hỗ trợ 24/7: 0965336999

      Văn phòng Hà Nội:

      Địa chỉ:  89 Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội, Việt Nam

      Văn phòng Miền Trung:

      Địa chỉ:  141 Diệp Minh Châu, phường Hoà Xuân, quận Cẩm Lệ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam

      Văn phòng Miền Nam:

      Địa chỉ:  227 Nguyễn Thái Bình, phường 4, quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

      Bản quyền thuộc về Bạn Cần Biết | Nghiêm cấm tái bản khi chưa được sự đồng ý bằng văn bản!

      Chính sách quyền riêng tư của Bạn Cần Biết