Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao

1. Lý thuyết về đạo hàm:

Đạo hàm là một sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm trong hình học là hệ số góc của một tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời điểm trên dây dẫn.

Đạo hàm được ứng dụng khá nhiều trong thực tiễn. Đạo hàm có thể cho bạn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế để ứng dụng đầu tư vào chứng khoán tốt nhất. Đạo hàm cũng có thể áp dụng để cho biết tốc độ gia tăng dân số từng vùng cụ thể. Có thể xác định tốc độ phản ứng hóa học của các chất, gia tốc của chuyển động, tính toán tốc độ.

Ngoài ra, người ta còn áp dụng đạo hàm tình giá trị lớn nhất nhỏ nhất ở đâu để có thể tối ưu hóa các hoạt động trong cuộc sống. Khi hàm số đạt giá trị cực đại thì đạo hàm bằng 0 (tuy nhiên cũng sẽ có ngoại lệ). Từ đó, có thể biết đại lượng có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở đâu để tối ưu hóa theo mong muốn đề ra. Kiến thức toán học không phải nhàm chán, vô dụng, thực tế người nắm được toán học trong tay sẽ là người thành công trong cuộc sống.

2. Cách tính đạo hàm của các hàm số đơn giản đến nâng cao:

Đạo hàm có lẽ đối với nhiều bạn học sinh là một kiến thức khó, nhiều công thức tính, nhiều bài tập khó giải quyết. Tuy nhiên, khi ghi nhớ các công thức tính và biết cách vận dụng thì toán học trở lên đơn giản hơn. Dưới đây là tất cả các công thức tính đạo hàm từ đơn giản đến nâng cao bạn cần nhớ:

2.1. Kiến thức đạo hàm cơ bản:

+ Đạo hàm của hằng số luôn bằng 0, được ký hiệu như sau:

(c)’ = 0

+ Đạo hàm của một tổng sẽ bằng tổng các đạo hạm, được ký hiệu như sau:

(u + v)’ = u’ + v’

(u₁ + u₂ + … + u_n)’ = u₁’ + u₂’ + … + u_n’

+ Đạo hàm của một tích sẽ được tính như sau:

(u x v)’ = (u)’ x v + (v)’ x u

+ Đạo hàm của một thương sẽ dược tính như sau:

(u/v)’ = [(u)’ x v – (v)’ x u] : v²

+ Quy tắc tính đạo hàm số hợp:

Nếu y = y(u(x)) thì y’(x) = y’(u) x u’(x)

Đạo hàm của f(x) với x là biến số có các công thức như sau:

(kx)’ = k

(xⁿ)’ = nx^{n – 1}

(1/ x)’ = -1/ (x²)

(√x)’ = 1/(2√x)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x

(tan x)’ = 1 + tan² x = 1/ (cos² x)

(cot x)’ = – (1 + cot² x) = – 1/ (sin² x)

(e^x)’ = e^x

(a^x)’ = a^x x ln a

(ln x)’ = (ln |x|)’ = 1/x

(Log_a x)’ = (log_a |x|)’ = 1/ (x x ln a)

+ Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số:

(ku)’ = k x u’

(uⁿ)’ = nu^{n – 1} x u’

(1/ u)’ = -(u)’/ (u²)

(√u)’ = (u)’/(2√u)

(sin u)’ = cos u x u’

(cos u)’ = – sin u x u’

(tan u)’ = (1 + tan² u) x u’ = (u)’/ (cos² u)

(cot u)’ = – (1 + cot² u) x u’ = – (u’) / (sin² u)

(e^u)’ = e^u x u’

(a^u)’ = a^u x ln a x u’

(ln u)’ = (ln |u|)’ = (u)’/u

(Log_a u)’ = (log_a |u|)’ = (u)’/ (u x ln a)

2.2. Kiến thức đạo hàm sơ cấp:

(c)’ = 0

(xa) = a.xa-1 với a thuộc R

(ⁿ√x)’ = 1/ [n. ⁿ√(x^n-1 )] với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

(ⁿ√u)’ = (u)’/ [n. ⁿ√(u^n-1 )] với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

2.3. Kiến thức đạo hàm cao cấp:

[(x^m)ⁿ]’ = m. (m – 1). (m -2)… (m – n + 1). X^{m – n} nếu m ≥ n

[(x^m)ⁿ]’ = 0 nếu m < n

[(Log_a x)ⁿ]’ = (- 1)^{n – 1}. [(n -1)!]/ ln a. xⁿ

[(ln x)ⁿ]’ = (- 1)^{n -1}. (n – 1)!. x^-n

[(e^kx)ⁿ] = kⁿ. e^kx

[(Sin ax)ⁿ]’ = aⁿ. sin( ax + n. ℼ/2)

[(a^x)ⁿ]’ = (ln a)n. a^x

[(Cos ax)ⁿ]’ = aⁿ. sin( ax + n. ℼ/2)

+ Phân thức số hữu tỷ:

3. Các dạng bài tập đạo hàm:

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa.

Áp dụng công thức:

f ’ (x) = lim_{(x → x0)} [f  (x) –  f  (x₀)]/ (x –x₀)

Ví dụ: Cho hàm số f  (x) = 2x² + x + 1. Tính f ’ (2)?

Đáp án: Áp dụng công thức, ta có:

f ’ (2) = lim_{(x → 2)} [f  (x) –  f  (2)]/ (x – 2)

= lim_{(x → 2)} [2x² + x + 1 – (2. 2² + 2 + 1)] : (x – 2)]

= lim_{(x → 2)} [2x² + x – 10] : (x – 2)

= lim_{(x → 2)} [(2x + 5). (x – 2)] : (x – 2) = lim_{(x → 2)} (2x + 5) = 9

Dạng 2: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm.

Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số f  (x) = 2x² + x + 1:

Đáp án: f ’ (x) = (2x² + x + 1)’

Áp dụng công thức đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm, ta có:

f ’ (x) = 4x + 1

Dạng 3: Chứng minh, giải phương trình, bất phương trình.

Ví dụ: Cho hàm số f  (x) = x³ – x² + 3mx + 2023. Tìm tham số m để phương trình f ’ (x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

Đáp án:

f  (x) = x³ – x² + 3mx + 2023 => f ’ (x) = 3x² – 2x + 3m

Mà f ’ (x) = 0 (theo đề bài)

 => 3x² – 2x + 3m = 0

Để phương trình trên có 2 nghiệp dương phân biệt thì:

∆’ > 0  =>  1 – 9m > 0

P > 0 => m > 0

a ≠ 0 => 3 ≠ 0 (luôn đúng)

S > 0 => 2/3 > 0 ( luôn đúng)

=> 0 < m < 1/9

Vậy giá trị của m trong khoảng (0; 1/9)

Dạng 4: Bài tập liên quan đạo hàm của hàm số lượng giác.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:

Y = Sinx – 3cosx

Đáp án:

Áp dụng bảng đạo hàm của hàm số lượng giác ta có:

Y’ = cosx + 3sinx

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm:

Ví dụ: Cho y = tanx, chứng minh y’ – y² – 1 = 0.

Đáp án:

Điều kiện xác định: x ≠ ℼ/2 + kℼ, k là số nguyên.

Ta có:

Y’ = tan’x = 1 + tan² x

Thay y’ và y vào phương trình y’ – y² – 1 ta có:

1 + tan² x  – tan²x – 1 = 0 (đpcm)

Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm hoặc hoành độ, tung độ.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại M(1;0) thuộc đồ thị (C): y = 2x² +5x -1.

Đáp án:

Tập xác định D = R

Ta có: y’ = (2x² +5x -1)’ = 4x + 5 => Hệ số góc k tại y’(0) = 5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

∆ = y’(0). (x – 0) + 1 = 5x + 1

Dạng 7: Viết phương trình tiếp tuyết khi biết hệ số góc hoặc song song, vuông góc với một đường thẳng.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C):

Y = x³ – 3x + 2, biết tiếp tuyến song song với d: y = 3x – 2

Đáp án:

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của ∆ và (C).

Ta có: Y’ = 2x – 3 mà ∆ // d => y’(x₀) = 3

ó 2x – 3 = 3 => x = 3 => M(3;2)

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M là:

∆: y = 3( x -3) + 2 = 3x – 7

Dạng 8: Bài toán xác định hệ sống góc lớn nhất, nhỏ nhất của tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C): y = 2x³ -3x² + 1, biết ∆ có hệ số góc nhỏ nhất.

Đáp án:

Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của ∆ và (C).

Ta có y’ =6x² -6x => hệ số góc k = y’(x₀) = 6x²₀ – 6x₀

Xác định hệ số góc nhỏ nhất:

Ta có: k = 6x²₀ – 6x₀ = 6(x²₀ – x₀ + ¼) – 3/2 = 6.(x₀ – ½)² – 3/2

6.(x₀ – ½)² – 3/2 ≥ -3/2

Do đó, k_min = -3/2 khi và chỉ khi x₀ = ½

Chọn điểm M(½; ½)

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M khi k nhỏ nhất là: y = (-3/2)x + 5/4

Dạng 9: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm mà tiếp tuyến đi qua.

Dạng 10: Tìm tham số để từ một điểm ta kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.