Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 12 hay nhất

1. Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 12 hay nhất:

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b (hoặc a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng a^x > b.

    • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a^x > b, ∀x ∈ R..

    • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a^x > a^log_ab.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_a b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_a b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

    • Với a > 1, ta có đồ thị sau.

    • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Lưu ý:

1. Dạng 1:

2. Dạng 2:

3. Dạng 3: a^f(x) > b(*)

4. Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

    + Đưa về cùng cơ số.

    + Đặt ẩn phụ.

    + Sử dụng tính đơn điệu:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau

Lời giải:

Bài 2: Giải bất phương trình sau 9^x-1-36.3^x-3+3 ≤ 0

Lời giải:

Biến đổi bất phương trình (1) ta được

(1) ⇔ (3^x-1)²-4.3^x-1+3 ≤ 0 (2)

Đặt t = 3^x-1 (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t²-4t+3 ≤ 0 (3)

(3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Suy ra: 1 ≤ 3^x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;2]

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Lời giải:

Vì x²+1/2 > 0 nên ta có các trường hợp sau

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

2. Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ cực hay:

Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.

Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Phương trình α_k + α_k-1 a^(k-1)x + … + α₁ a^x + α⁰ = 0

        Khi đó ta đặt t = a^x điều kiện t > 0, ta được α_k t^k + α_k-1 t^k-1 + … + α₁ t + α₀ = 0

        Mở rộng: Nếu đặt t = a^f(x) , điều kiện hẹp t > 0.

Dạng 2: Phương trình α₁ a^x + α₂ a^x + α₃ = 0 với a.b = 1

        Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = a^f(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra

Dạng 3: Phương trình α₁ a^2x + α₂ (a.b)^x + α₃ b^2x = 0 khi đó chia hai vế của phương trình cho b^2x > 0 (hoặc a^2x, (a.b)^x), điều kiện t < 0, ta được

        , điều kiện t < 0 , ta được α₁ t² + α₂ t+α₃ = 0

        Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a^2f, b^2f, (a.b)^2f, ta thực hiện theo các bước sau:

            + Chia 2 vế của phương trình cho b^2f > 0 (hoặc a^2f,(a.b)^f)

            + Đặt  điều kiện hẹp t > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 9^x-5.3^x+6=0

Lời giải:

Đặt t=3^x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)^x-3(2-√3)^x+2=0

Lời giải:

Nhận xét rằng 7+4√3=(2+√3)²; (2+√3)(2-√3)=1

Do đó nếu đặt t=(2+√3)^x điều kiện t > 0 thì (2-√3)^x=1/t và (7+4√3)^x = t²

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)^x+(√2+1)^x-2√2=0

Lời giải:

Đặt t=(√2+1)^x ta có phương trình đã cho tương đương:

Bài 4: Giải phương trình sau: (3+√5)^x+16(3-√5)^x = 2^x+3

Lời giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2^x > 0, ta được

3. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có (√10+3)(√10-3)=1 ⇒ √10-3 = (√10+3)^-1

Bất phương trình cho

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có: 7+4√3 = (2+√3)² và (2-√3)(2+√3) = 1 nên đặt

t = (2+√3)^x, t > 0 ta có bất phương trình:

t²-3/t+2 ≤ 0 ⇔ t³+2t-3 ≤ 0 ⇔ (t-1)(t²+t+3) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1

⇔ (2+√3)^x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Ta có 2^x + 4.5^x – 4 < 10^x ⇔ 2^x – 10^x + 4.5^x-4 < 0 ⇔ 2^x (1-5^x) – 4(1-5^x) < 0 ⇔ (1-5^x)(2^x-4) < 0

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 6: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

Bài 7: Giải bất phương trình sau:

Lời giải:

 

Bài 8: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (m+1)16^x-2(2m-3) 4^x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Đặt 4^x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn 0 < t₁ < 1 < t₂

Bài 9: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Nhận xét rằng (5+√24)(5-√24) = 1

Đặt t = (5+√24)^x, điều kiện t > 0 ⇒ (5-√24)^x = 1/t

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bài 10: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2^2x+2 ≠ 0 ta được:

Đặt t = 2^x2-x điều kiện t > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bài 11: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

2.2^2(x2+1) +(2.3)^(x2+1)=3^2(x2+1)

Chia cả hai vế của phương trình cho 2^2(x2+1) ≠ 0, ta được:

Khi đó phương trình có dạng:

Bài 12: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Viết lại phương trình có dạng:

Khi đó phương trình (1) có dạng:

Đặt u = 2^x, u > 0. Khi đó phương trình (2) có dạng:

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài 13: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

125^x+50^x = 2.8^x

Chia cả 2 về của phương trình trên cho 8^x ≠ 0, ta được:

Khi đó phương trình (*) tương đương:

Bài 14: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Bài 15: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Điều kiện x ≥ 0. Biến đổi phương trình về dạng:

Đặt t=3^√x, điều kiện t ≥ 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 16: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Đưa phương trình về dạng: 2^2(x+1) + 2^x+4 = 2^x+2 + 16 ⇔ 2.2^2x – 6.2^x – 8 = 0

Đặt t = 2^x, điều kiện t > 0

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bài 17: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Đưa phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3^x2+x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Bài 18: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

3⁸.3^2x-4.3⁵.3^x+27=0 ⇔ 6561.(3^x )²-972.3^x+27 = 0

Đặt t = 3^x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Bài 19: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Đặt t = 3^x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài 20: Giải phương trình 4^x2-3x+2 + 4^x2+6x+5 = 4^2×2+3x+7+1

Lời giải:

Nhận xét: x²-3x+2 + x²+6x+5 = 2x²+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4^x2-3x+2 – 4^2×2+3x+7 = 1 – 4^x2+6x+5

⇔ (4^x2-3x+2 – 1)(4^x2+6x+5 – 1) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Bài 21: Giải phương trình 3^x.2x = 3^x+2x+1

Lời giải:

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Ta có hàm số y = 3^x là hàm số đồng biến trên R.

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 22: Giải phương trình (√3-√2)^x + (√3+√2)^x = (√10)^x

Lời giải:

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 23: Giải phương trình 12+6^x = 4.3^x+3.2^x

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 24: Giải phương trình 15^x-3.5^x+3^x = 3

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 3^x.5^x-3.5^x+3^x-3 = 0 ⇔ 5^x (3^x-3)+3^x-3 = 0

⇔ (3^x-3)(5^x+1) = 0 ⇔ 3^x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5^x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.