Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 12 hay nhất

Với Các dạng bài tập bất phương trình mũ và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập bất phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 12 hay nhất:

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.

    • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R..

    • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > loga b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < loga b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

    • Với a > 1, ta có đồ thị sau.

Bạn Cần Biết

    • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Bạn Cần Biết

Lưu ý:

1. Dạng 1:

Bạn Cần Biết

2. Dạng 2:

Bạn Cần Biết

3. Dạng 3: af(x) > b(*)

Bạn Cần Biết

4. Dạng 4: af(x) < b(**)

Bạn Cần Biết

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Bạn Cần Biết

Tương tự với bất phương trình dạng:

Bạn Cần Biết

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Bạn Cần Biết

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

    + Đưa về cùng cơ số.

    + Đặt ẩn phụ.

    + Sử dụng tính đơn điệu:

Bạn Cần Biết

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Bài 2: Giải bất phương trình sau 9x-1-36.3x-3+3 ≤ 0

Lời giải:

Biến đổi bất phương trình (1) ta được

(1) ⇔ (3x-1)2-4.3x-1+3 ≤ 0 (2)

Đặt t = 3x-1 (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t2-4t+3 ≤ 0 (3)

(3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Suy ra: 1 ≤ 3x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;2]

Bài 3: Giải bất phương trình sau

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Vì x2+1/2 > 0 nên ta có các trường hợp sau

Bạn Cần Biết

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

Bạn Cần Biết

2. Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ cực hay:

Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.

Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Phương trình αk + αk-1 a(k-1)x + ... + α1 ax + α0 = 0

        Khi đó ta đặt t = ax điều kiện t > 0, ta được αk tk + αk-1 tk-1 + ... + α1 t + α0 = 0

        Mở rộng: Nếu đặt t = af(x) , điều kiện hẹp t > 0.

        Bạn Cần Biết

Dạng 2: Phương trình α1 ax + α2 ax + α3 = 0 với a.b = 1

        Bạn Cần Biết

        Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra Bạn Cần Biết

Dạng 3: Phương trình α1 a2x + α2 (a.b)x + α3 b2x = 0 khi đó chia hai vế của phương trình cho b2x > 0 (hoặc a2x, (a.b)x), điều kiện t < 0, ta được

Bạn Cần Biết

        Bạn Cần Biết, điều kiện t < 0 , ta được α1 t2 + α2 t+α3 = 0

        Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a2f, b2f, (a.b)2f, ta thực hiện theo các bước sau:

            + Chia 2 vế của phương trình cho b2f > 0 (hoặc a2f,(a.b)f)

            + Đặt Bạn Cần Biết điều kiện hẹp t > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 9x-5.3x+6=0

Lời giải:

Đặt t=3x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bạn Cần Biết

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)x-3(2-√3)x+2=0

Lời giải:

Nhận xét rằng 7+4√3=(2+√3)2; (2+√3)(2-√3)=1

Do đó nếu đặt t=(2+√3)x điều kiện t > 0 thì (2-√3)x=1/t và (7+4√3)x = t2

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)x+(√2+1)x-2√2=0

Lời giải:

Đặt t=(√2+1)x ta có phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Bài 4: Giải phương trình sau: (3+√5)x+16(3-√5)x = 2x+3

Lời giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2x > 0, ta được

Bạn Cần Biết

3. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Ta có (√10+3)(√10-3)=1 ⇒ √10-3 = (√10+3)-1

Bất phương trình cho

Bạn Cần Biết

Bài 2: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Ta có: 7+4√3 = (2+√3)2 và (2-√3)(2+√3) = 1 nên đặt

t = (2+√3)x, t > 0 ta có bất phương trình:

t2-3/t+2 ≤ 0 ⇔ t3+2t-3 ≤ 0 ⇔ (t-1)(t2+t+3) ≤ 0 ⇔ t ≤ 1

⇔ (2+√3)x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0.

Vậy, bất phương trình cho có nghiệm là x ≤ 0

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Ta có 2x + 4.5x - 4 < 10x ⇔ 2x - 10x + 4.5x-4 < 0 ⇔ 2x (1-5x) - 4(1-5x) < 0 ⇔ (1-5x)(2x-4) < 0

Bạn Cần Biết

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Bài 6: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Bài 7: Giải bất phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết 

Bài 8: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (m+1)16x-2(2m-3) 4x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành:

Bạn Cần Biết

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Bạn Cần Biết

Bài 9: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Nhận xét rằng (5+√24)(5-√24) = 1

Đặt t = (5+√24)x, điều kiện t > 0 ⇒ (5-√24)x = 1/t

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Bài 10: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho 22x+2 ≠ 0 ta được:

Bạn Cần Biết

Đặt t = 2x2-x điều kiện t > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bạn Cần Biết

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có hai nghiệm Bạn Cần Biết

Bài 11: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

2.22(x2+1) +(2.3)(x2+1)=32(x2+1)

Chia cả hai vế của phương trình cho 22(x2+1) ≠ 0, ta được:

Bạn Cần Biết

Khi đó phương trình có dạng:

Bạn Cần Biết

Bài 12: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Viết lại phương trình có dạng:

Bạn Cần Biết

Khi đó phương trình (1) có dạng:

Bạn Cần Biết

Đặt u = 2x, u > 0. Khi đó phương trình (2) có dạng:

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài 13: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

125x+50x = 2.8x

Chia cả 2 về của phương trình trên cho 8x ≠ 0, ta được:

Bạn Cần Biết

Khi đó phương trình (*) tương đương:

Bạn Cần Biết

Bài 14: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng:

Bạn Cần Biết

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

Bạn Cần Biết

Bài 15: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Điều kiện x ≥ 0. Biến đổi phương trình về dạng:

Bạn Cần Biết

Đặt t=3√x, điều kiện t ≥ 1

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 16: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Đưa phương trình về dạng: 22(x+1) + 2x+4 = 2x+2 + 16 ⇔ 2.22x - 6.2x - 8 = 0

Đặt t = 2x, điều kiện t > 0

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Bài 17: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Đưa phương trình đã cho về dạng:

Bạn Cần Biết

Đặt t = 3x2+x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Bài 18: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

38.32x-4.35.3x+27=0 ⇔ 6561.(3x )2-972.3x+27 = 0

Đặt t = 3x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Bài 19: Giải phương trình sau:

Bạn Cần Biết

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Bạn Cần Biết

Đặt t = 3x, t > 0

Phương trình đã cho tương đương:

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài 20: Giải phương trình 4x2-3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7+1

Lời giải:

Nhận xét: x2-3x+2 + x2+6x+5 = 2x2+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4x2-3x+2 - 42x2+3x+7 = 1 - 4x2+6x+5

⇔ (4x2-3x+2 - 1)(4x2+6x+5 - 1) = 0

Bạn Cần Biết

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.

Bài 21: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1

Lời giải:

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Bạn Cần Biết

Ta có hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên R.

Bạn Cần Biết

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 22: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Bạn Cần Biết

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 23: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x

Lời giải:

Bạn Cần Biết

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 24: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 3x.5x-3.5x+3x-3 = 0 ⇔ 5x (3x-3)+3x-3 = 0

⇔ (3x-3)(5x+1) = 0 ⇔ 3x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

    5 / 5 ( 1 bình chọn )