Skip to content

 

Home

Trang thông tin tổng hợp hàng đầu Việt Nam

  • Trang chủ
  • Giáo dục
  • Kinh tế tài chính
  • Cuộc sống
  • Sức khỏe
  • Đảng đoàn
  • Văn hóa tâm linh
  • Công nghệ
  • Du lịch
  • Biểu mẫu
  • Danh bạ
  • Liên hệ

Home

Trang thông tin tổng hợp hàng đầu Việt Nam

Đóng thanh tìm kiếm

Trang chủ Cuộc sống

Cách giải phương trình bậc 3 và ví dụ bài tập vận dụng

  • 02/02/202402/02/2024
  • bởi Bạn Cần Biết
  • Bạn Cần Biết
    02/02/2024
    Theo dõi Bạn Cần Biết trên Google News

    Mời bạn đọc cùng tìm hiểu về cách giải phương trình bậc 3 và ví dụ bài tập vận dụng

      Mục lục bài viết

      • 1 1. Phương trình bậc 3 là gì? 
      • 2 2. Cách giải phương trình bậc 3:
        • 2.1 2.1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a:
        • 2.2 2.2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0
      • 3 3. Một số bài tập và hướng dẫn chi tiết giải phương trình bậc 3:



      1. Phương trình bậc 3 là gì? 

      Trong đại số, một phương trình bậc ba có một biến là một biểu thức có dạng

       

      trong đó a khác 0.

      Lời giải của đẳng thức này được gọi là các không điểm của hàm số bậc ba được định nghĩa bởi vế trái của biểu thức. Nếu tất cả những hệ số a, b, c và d của phương trình là số thực, thì nó có ít nhất 1 không điểm (điều này đúng với mọi phương trình bậc lẻ). Tất cả các không điểm của phương trình bậc ba có thể được tìm ra bằng những cách sau:

      Phương pháp đại số, nghĩa là chúng có thể được biểu thị bằng một công thức bậc ba liên quan đến bốn hệ số, bốn phép tính số học cơ bản và căn bậc hai, căn bậc ba. 

      Phương pháp lượng giác, các phép gần đúng bằng số của các giá trị căn có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các thuật toán tìm nghiệm như phương pháp của Newton.

      Các hệ số không cần thiết phải là số thực. Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết phải thuộc cùng trường với hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với hệ số hữu tỉ có nghiệm là số vô tỉ (hay thậm chí là số phức).

      2. Cách giải phương trình bậc 3:

      2.1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a:

      Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:

       

      2.2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0

      Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm (hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2).

      – Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

       ax3 + bx2 + cx + d = (x – α).f(x)

      – Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x – α).

      – Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x – α).(ax2 + Bx + C) = 0.

      * Lưu ý: Để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau:

      Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x – α).(ax2 + Bx + C)

      ax3 + bx2 + cx + d = 0

      ⇔ (x – α).(ax2 + Bx + C) = 0

      2.3. Một số lưu ý khi giải phương trình bậc 3:

      Nếu  thì phương trình có nghiệm là 1

      Nếu thì phương trình có nghiệm là −1

      Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì chỉ có thể là một trong các ước của d

      Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ  thì p,q lần lượt theo thứ tự là ước của d và a

      Nếu  thì phương trình có nghiệm là

      Phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm

      Với phương trình bậc ba chỉ cần tìm được một nghiệm xem như chúng ta đã hoàn thành 75% lời giải rồi.

      Lúc này, bạn chỉ cần chia vế trái của phương trình cho x−x0 (x0 là một nghiệm của phương trình) thì lập tức được một tam thức bậc hai.

      Mà Tam thức bậc hai / phương trình bậc hai thì chúng ta có thể giải được một cách dễ dàng.

      Có nhiều phương trình bậc ba có hệ số nguyên nhưng vẫn không có nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ.

      Có nhiều phương trình bậc ba có hệ số nguyên nhưng vẫn có nghiệm thực.

      3. Một số bài tập và hướng dẫn chi tiết giải phương trình bậc 3:

      * Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x3 = 8

      * Lời giải:

      – Ta có:

      Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.

      * Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128

      * Lời giải:

      – Ta có:

      Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình.

      * Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 + 5x2 – x – 6 = 0.

      * Lời giải:

      – Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là:

       a + b + c + d = 2 + 5 – 1 – 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1.

      Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (2x3 + 5x2 – x – 6) chia cho

      (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

      x25-1-6
      121.2+5=71.7+(-1)=61.6+(-6)=0

      Vậy 2x3 + 5x2 – x – 6 = (x – 1)(2x2 + 7x + 6)

      Khi đó: 2x3 + 5x2 – x – 6 = 0

      ⇔ (x – 1)(2x2 + 7x + 6) = 0

      ⇔ (x – 1)= 0 hoặc (2x2 + 7x + 6) = 0

      Xét phương trình:  x – 1 = 0 ⇔ x = 1

      Xét phương trình: 2x2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72  – 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm:

       x1 = (-7 + 1)/4 = -3/2;

       x2 = (-7 – 1)/4 = -2

      Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2;

      Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}.

      * Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x3 – 2x2 – 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.

      * Lời giải:

      Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x3 – 2x2 – 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

      x3-2-54
      131.3+(-2)=11.1+(-5)=-41.(-4)+4=0

      Vậy 3x3 – 2x2 – 5x + 4 = (x – 1).(3x2 – 2x – 5)

      Khi đó: x3 – 2x2 – 5x + 4 = 0

      ⇔ (x – 1).(3x2 – 2x – 5) = 0

      ⇔ x – 1 = 0 hoặc 3x2 – 2x – 5 = 0

      Xét phương trình:  x – 1 = 0 ⇔ x = 1

      Xét phương trình:  3x2 – 2x – 5 = 0 có ∆ = (-2)2 – 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3.

      (có thể thấy ngay phương trình: 3x2 – 2x – 5 = 0 có các hệ số a – b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3)

      Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.

      * Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:

       (x – 2)(x2 + mx + m2 – 3) = 0 (*) 

      * Lời giải:

      – Phương trình (*)⇔

      Phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2.

      +) TH1: phương trình (2) có nghiệm kép khác 2

       ⇔ Phương trình (2) có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (2)

       

      +) TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

      Thay x = 2 vào phương trình (2) ta được:

       m2 + 2m + 1 = 0

      ⇔ (m + 1)2 = 0

      ⇔ m = -1

      Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: x2 – x – 2 = 0

      Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2

      Suy ra m = -1 (thỏa mãn)

      Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

      *Bài tập 6: Tìm các nghiệm của phương trình  x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình

      Giải

      Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0

      Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho

      (x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

      Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

      Vậy x3 + x2 – 12 =  (x – 2).( x2 + 3x + 6)

      Xét phương trình:  x – 2 = 0 ⇔ x = 2

      Xét phương trình:  x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32  – 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

      Vây phương trình có nghiệm duy nhất  x = 2

      * Bài tập 7: Tìm m để phương trình:  (x – 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

      Giải

      Phương trình (1)

      Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

      + TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔  phương trình (**) có

      ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**)

      + TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

      Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được:

      Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0

      Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm  x = -1, x = 2

      Suy ra m = -1 thỏa mãn

      Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm.

      *Bài tập 8: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

      Giải

      Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

      Xét phương trình  x + 3 = 0 ⇔ x = -3

      Xét phương trình  2x2 – 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2  – 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2

      Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:

      Đáp án là D

      * Bài tập 9: Tìm m để phương trình  (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3

      A. m = 1

      B. m = 6

      C. Không tồn tại m

      D. m = 0

      Giải

      Phương trình (1)

      Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1

      Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3  = -2m

      Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2

      m = -2 không thỏa mãn điều kiện  nên loại

      Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

      5
      /
      5
      (
      1

      bình chọn

      )
      Gọi luật sư ngay
      Tư vấn luật qua Email
      Đặt lịch hẹn luật sư
      Đặt câu hỏi tại đây
      CÙNG CHUYÊN MỤC
      • Nét đặc sắc của văn hóa Nhật Bản thể hiện rõ nhất là?
      • Hướng dẫn cách cài đặt, sử dụng phần mềm ChemSketch
      • Làm thế nào để chúng ta can đảm hơn trong những lựa chọn của mình?
      • Trong một xã hội đang ngày càng phát triển, bạn cần phải…
      • VietGap là gì? Điều kiện cấp giấy chứng nhận VietGap?
      • Điểm khác biệt giữa ví điện tử và tài khoản ngân hàng
      • Em dâu có được phép mang thai hộ chị chồng không?
      • Cách đăng nhập và đăng xuất tài khoản VnEdu đơn giản
      • Chứng chỉ giáo lý hôn nhân có thời hạn trong bao nhiêu lâu?
      • Thông tin tuyển sinh các trường Công an mới nhất 2023
      • Quan điểm của Phật giáo về việc ly hôn như thế nào?
      • Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập Toán 12 chi tiết
      BÀI VIẾT MỚI NHẤT
      • Thảo luận về cách hành xử phù hợp khi bị bắt nạt hay nhất
      • Các dạng đề thi THPT quốc gia về Người lái đò sông Đà
      • Theo em, vì sao các vương triều Đại Việt quan tâm đến giáo dục khoa cử?
      • Tả quang cảnh một phiên chợ Tết chọn lọc hay nhất lớp 6
      • Qua bài Nói với con, nhà thơ muốn gửi gắm điều gì?
      • Nguồn lương thực chính của cư dân Văn Lang – Âu Lạc là?
      • Biện pháp có ý nghĩa hàng đầu để bảo vệ đa dạng sinh học của nước ta là?
      • Sự suy giảm đa dạng sinh học ở nước ta không có biểu hiện nào dưới đây?
      • Phương thức biểu đạt của bài thơ Khi con tu hú là gì?
      • Đa dạng sinh học: Lý thuyết Khoa học tự nhiên 6 Bài 33
      • Đại Việt thời Trần (1226-1400) Lý thuyết Lịch Sử 7 Bài 13
      • Tình trạng đô thị hóa tự phát ở Mĩ La Tinh là do?
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Giáo dục
      • Kinh tế tài chính
      • Cuộc sống
      • Sức khỏe
      • Đảng Đoàn
      • Văn hóa tâm linh
      • Công nghệ
      • Du lịch
      • Biểu mẫu
      • Danh bạ
      LIÊN KẾT NỘI BỘ
      • Giáo dục
      • Kinh tế tài chính
      • Cuộc sống
      • Sức khỏe
      • Đảng Đoàn
      • Văn hóa tâm linh
      • Công nghệ
      • Du lịch
      • Biểu mẫu
      • Danh bạ


      Tìm kiếm

      Logo

      Hỗ trợ 24/7: 0965336999

      Văn phòng Hà Nội:

      Địa chỉ:  89 Tô Vĩnh Diện, phường Khương Trung, quận Thanh Xuân, thành phố Hà Nội, Việt Nam

      Văn phòng Miền Trung:

      Địa chỉ:  141 Diệp Minh Châu, phường Hoà Xuân, quận Cẩm Lệ, thành phố Đà Nẵng, Việt Nam

      Văn phòng Miền Nam:

      Địa chỉ:  227 Nguyễn Thái Bình, phường 4, quận Tân Bình, thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam

      Bản quyền thuộc về Bạn Cần Biết | Nghiêm cấm tái bản khi chưa được sự đồng ý bằng văn bản!

      Chính sách quyền riêng tư của Bạn Cần Biết