Phương trình đường thẳng là bài toán lớp 10 với những bài toán có nhiều dạng khác nhau như: Viết phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng,... Để làm được các dạng bài tập của phương trình đường thẳng, mời các bạn tham khảo bài viết Cách giải các dạng bài tập về phương trình đường thẳng dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Cách giải các dạng bài tập về phương trình đường thẳng:
Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng
Phương pháp giải:
– Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Tìm vectơ pháp tuyến (a;b) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình theo công thức: a(x – x0) + b(y – y0) = 0
+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0
Nếu đường thẳng song song với đường thẳng 2 : ax + by + c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiếtcó phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.
Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng 2 : ax + by + c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.
– Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
+ Tìm vectơ chỉ phương ( u1; u2) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình tham số:
Nếu có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương ( 1; k)
Nếu có vecto pháp tuyến (a;b) thì có vecto chỉ phương = (-b;a) hoặc = (b;a) và ngược lại
– Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = (a;b) với a.b khác 0
+ Tìm vectơ chỉ phương (a;b) (a.b khác 0) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ viết Phương trình chính tắc:
– Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)
+ Tìm hai giao điểm của với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)
+ Viết phương trình đoạn chắn với a.b khác 0
Ví dụ:
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có là à vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có = (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)
Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:
Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
Với a2, b2, c2 khác 0 ta có:
<=>
d1 // d2 <=>
<=>
Ví dụ:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) d1: 4x – 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.
b) d3: 12x – 6y + 10 = 0 và d4 : 2x – y + 5 = 0.
c) d5: 8x + 10y – 12 = 0 và d6 : 4x + 5y – 6 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Xét hai đường thẳng d1: 4x – 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có: 4 khác -10 nên d1 và d2 cắt nhau
b, Xét hai đường thẳng d3: 12x – 6y + 10 = 0 và d4 : 2x – y + 5 = 0 có và => d3 và d4 song song với nhau
c) Xét hai đường thẳng d5: 8x + 10y – 12 = 0 và d6 : 4x + 5y – 6 = 0 có: => d5 và d6 trùng nhau.
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng:
– Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến với khác 0 và khác 0 , góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Đặt alpha = (d1; d1) ta có:
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d (M,). tính bằng công thức:
2. Cách viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát:
Phương trình đường thẳng dạng tổng quát là được biểu diễn bằng phương trình ax + by + c = 0, trong đó a, b, và c là các hằng số. Đây là một phương trình tuyến tính của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
Các bước viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát như sau:
– Xác định hệ số góc của đường thẳng (khi không đứng ở dạng giữa, hoặc các điểm xác định đường thẳng đã được cung cấp). Hệ số góc được ký hiệu là -a/b.
+ Nếu đường thẳng là đứng, thì a = 0 và phương trình sẽ có dạng x = k, với k là giá trị xác định.
+ Nếu đường thẳng là ngang, thì b = 0 và phương trình sẽ có dạng y = k, với k là giá trị xác định.
– Tìm một điểm trên đường thẳng, có thể làm bằng cách cho x = 0 hoặc y = 0 và tính giá trị của y hoặc x tương ứng. Điểm này sẽ là điểm giao của đường thẳng với trục ox hoặc trục oy.
– Sử dụng hệ số góc và điểm trên đường thẳng đã tìm trong các bước trên, ta có thể viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát bằng cách thay các giá trị vào phương trình ax + by + c = 0.
3. Bài tập tự luyện:
Bài 1. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
Bài 2. Cho hai đường thẳng ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆1 và ∆2 trong các trường hợp m = 0, m = 1.
b) Tìm m để hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.
Bài 3. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.
Bài 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d đi qua 2 điểm A (3; 5) và B (4; 6).
Bài 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ biết d’ đi qua 2 điểm A (2; 7) và B (0; 5).
Bài 6: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm M (1; 6) và N (2; 3)
Bài 7: Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + 2 = 0 và d đi qua điểm (2; 3)
Bài 8: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d: 3x – 5y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 3x – 5y = 0.
Bài 9: Cho đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0 và đường thẳng d’: x – m + 7 = 0. Tìm m để d // d’.
Bài 10: Cho hai đường thẳng d: 6x – y = 0 và d’: 2x + 8y – 1 = 0. Tìm tọa độ giao điểm I của d và d’.
Bài 11: Cho hai đường thẳng d: 8x – 3y + 2 = 0 và d’: x = 4. Tìm số đo góc giữa d và d’.
Bài 12: Cho điểm A (4; 7) và đường thẳng d’: x – 6 = 0. Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Bài 13. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).
Bài 14. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).
Bài 15. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng này đi qua 2 điểm A(–3, 2), B(5, –4).
Bài 16. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng này đi qua A (3; 1) và song song với đường thẳng y = –2x + m – 1.
Bài 17. Cho đường thẳng AB với A(–2; 3) và B(4; –1). Hãy tìm phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
Bài 18. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3; 5) và N(2; 1). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Bài 19. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3; 5) và N(2; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
Bài 20. Cho parabol (P): y = –x2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.