Các công thức về phương trình đường thẳng lớp 10 hay nhất

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

+ Vectơ n→ ≠ 0→ gọi là vectơ pháp tuyến của ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét : Nếu n→ là vectơ pháp tuyến của ∆ thì k.n→(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

+ Trong mặt phẳng tọa độ; mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

ax + by + c = 0 với a2 + b2 > 0.

+ Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

– Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.

– Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy.

– Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ.

+ Đường thẳng có phương trình:  = 1 ( a ≠ 0; b ≠ 0) đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b)

Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

+ Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c= 0

   Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên được đưa về dạng: y= kx + m ( *)

   Khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ và ( *) gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng : ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 = a2x + b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

(I)

Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠ 0 thì :

∆1 cắt ∆2 ⇔

∆1 song song ∆2 ⇔

∆1 trùng ∆2 ⇔

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 

Vectơ u→ ≠ 0→ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét : Nếu u→ là vectơ chỉ phương của ∆ thì k.u→( k ≠0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

4. Phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và u→( a; b) là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

( 1)

Hệ ( 1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, với tham số t.

5. Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 (x0; y0) và u→(a;b) (với a ≠ 0, b ≠ 0 ) là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

(2)

Phương trình ( 2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

6. Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến:

Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Do đó nếu ∆ có vectơ chỉ phương u→( a; b) thì n→( b; -a) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

d(M0, ∆) =

8. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và hai điểm M(xM; yM); N(xN; yN) không nằm trên ∆. Khi đó:

+ Hai điểm M và N cùng phía so với ∆ khi và chỉ khi:

    ( axM + byM + c).( axN + byN + c) > 0.

+ Hai điểm M và N khác phía so với ∆ khi và chỉ khi:

    ( axM + byM + c).(axN + byN + c) < 0.

9. Góc giữa hai đường thẳng:

+ Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng là 00.

Kí hiệu: (a;b)

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:

   (a; b) = ( u→; v→) nếu ( u→; v→) ≤ 900

(a; b) = 1800 – ( u→; v→) nếu ( u→; v→) > 900

Trong đó; u→ và v→ lần lượt là VTCP của a và b.

+ Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có VTPT n1→ = (a1; b1) và n2→ = (a2; b2) được tính theo công thức:

cos(Δ1, Δ2) = cos(n1→, n2→) =

10. Bài tập trắc nghiệm vận dụng liên quan:

Câu 1: Cho hai đường thẳng d₁: 3x – 4y +2 = 0 và d₂: mx +2y – 3 = 0. Hai đường thẳng song song với nhau khi:

A. m = 3    

B. m=3/2

C. m=-3/2    

D. m = – 3

Câu 2: Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d₁: 3x – 4y + 2 = 0 và d₂: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:

A. m=±1

B. m = 1 và m = 4

C. m=±4

D. m = – 1 và m = 4

Câu 3: Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là:

A. x – 2y + 8 = 0

B. 2x + 5y – 11 = 0

C. 3x – y + 9 = 0

D. x + y – 1 = 0

Câu 4: Cho điểm A(3; 5) và các đường thẳng d₁: y = 6, d₂: x = 2. Số đường thẳng d qua A tạo với các đường thẳng d₁, d₂ một tam giác vuông cân là

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. Vô số

Câu 5: Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. Vô số

Câu 6: Một đường thẳng có bao nhiêu phương trình tham số?

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. Vô số

Câu 7: Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến n→=(1;-2)là:

A. 3(x + 1) + 4(y – 2) = 0

B. 3(x – 1) + 4(y + 2) = 0

C. (x – 3) – 2(y – 4) = 0

D. (x + 3) – 2(y + 4) = 0