Bài tập về toán cao cấp 1 có lời giải chi tiết nhất

1. Bài tập về toán cao cấp:

Dạng bài 1: Không gian véc tơ Rn

1. Trong không gian Rn cho hệ véc tơ 

{ A1= (-1,3,0.-1) ; A2=( 1,2,-1,2); A3= (-3,1,1,2)}

Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau:

a) a1 = -2 ; a2=  1; a3= 3

b) a1= -1; a2= -3 ; a3= 2

2. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các vecto còn lại qua cơ sở của hệ vecto

a) {A1= ( 1;-3) ; A2= (5;2 ); A3= ( -1;0); A4= ( -2; 1)}

b) { A1= ( 2; 1; -1) ; A2= ( -1; 0; 2) ; A3= ( 0; 1; 3); A4= ( -1; -2; -4 )}

3. Cho AB là các véc tơ trong không gian n. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:

a) Các hệ véc tơ { A,B } và { A + B, A- B}  cùng độc lập tuyến tính hoặc cùng phụ thuộc tuyến tính.

b) h(A, B) = h ( A,B,A +B)

Dạng 2: Ma trận, định thức

1. Cho ví dụ về các ma trận A, B thỏa mãn:

a) Tồn tại AB nhưng không tồn tại BA

b) Tồn tại AB, tồn tại BA nhưng AB khác BA

c) Tồn tại AB, tồn tại BA và AB =BA 

2. Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3 loại sản phẩm X, Y, Z. Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho ở bảng sau:

a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên.

b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số lượng vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm X, Y, Z tương ứng

2. Khái niệm toán cao cấp:

Toán cao cấp là một khái niệm mà người ta thường sử dụng để chỉ các phần của toán học có độ khó cao hơn và phức tạp hơn so với các khái niệm và phương pháp toán học cơ bản. Nó thường liên quan đến các chủ đề và phần mở rộng của toán học, và đòi hỏi kiến thức sâu sắc và kỹ năng phân tích, lý luận cao cấp. Dưới đây là một số ví dụ về các chủ đề thường được coi là toán cao cấp:

Phân tích thực và phân tích ảo: Bao gồm nghiên cứu về giới hạn, tích phân Riemann và nhiều khái niệm phức tạp hơn trong tích phân. Đại số tuyến tính và đại số trừu tượng: Nghiên cứu về không gian vector, ma trận, và các khái niệm đại số trừu tượng như nhóm, vòng, và trường.

Giải tích số: Sử dụng phương pháp tích phân số học và giải phương trình vi phân bằng các kỹ thuật số.

Lý thuyết xác suất và thống kê: Nghiên cứu về xác suất, biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất, và phương pháp thống kê phức tạp.

Phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng: Nghiên cứu về giải phương trình vi phân thường và đạo hàm riêng, cũng như các vấn đề liên quan đến giá trị riêng và hàm riêng.

Lý thuyết tối ưu: Nghiên cứu về tối ưu hóa các hàm mục tiêu trong điều kiện ràng buộc.

Lý thuyết đồ thị và lý thuyết số: Nghiên cứu về cấu trúc và tính chất của đồ thị, cũng như các thuật toán số học. Các khái niệm và kỹ thuật trong toán cao cấp thường được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như khoa học máy tính, vật lý, kỹ thuật, kinh tế học và nhiều lĩnh vực khác để giải quyết các vấn đề phức tạp và thú vị.

3. Độ khó của toán cao cấp:

Có một số nguyên nhân sau:

Độ khó tăng cao: Toán cao cấp thường đòi hỏi kiến thức sâu rộng và khả năng phân tích, lý luận cao cấp. Các chủ đề và vấn đề trong toán cao cấp thường phức tạp hơn so với những gì sinh viên đã học ở cấp độ cơ bản. Điều này có thể làm cho nó trở nên khó khăn và đầy thách thức đối với nhiều người.

Áp lực và thời gian: Toán cao cấp thường yêu cầu nhiều thời gian và công sức để hiểu và thực hành. Sinh viên thường phải giải quyết các bài tập và vấn đề phức tạp, và điều này có thể tạo ra áp lực và căng thẳng.

Sự tự tin yếu: Nếu một sinh viên đã có trải nghiệm không tốt với toán học trong quá khứ hoặc cảm thấy thiếu tự tin về khả năng của mình trong môn này, họ có thể cảm thấy sợ hãi khi phải học toán cao cấp.

Do môn học được biết đến là bộ môn khó của toán học: Toán cao cấp thường được miêu tả như một môn học khó hiểu và trừu tượng, và điều này có thể làm cho nó trở nên đáng sợ đối với nhiều người. Thậm chí, một số người có thể có niềm tin sai lầm rằng họ không thể học toán cao cấp.  Quan điểm rằng toán cao cấp là một môn học khó hiểu và trừu tượng là một lẽ thường gặp và có thể gây ra sự sợ hãi hoặc tự nghi ngờ đối với nhiều người. Tuy nhiên, điều này thường là một ẩn danh và không phản ánh hoàn toàn sự thật về môn học này. Dưới đây là một số cách để nhìn nhận toán cao cấp một cách khách quan:

+ Toán là một kỹ năng học được: Toán không phải là một năng khiếu mà người ta sinh ra đã có. Đúng như bất kỳ kỹ năng nào khác, nó yêu cầu thời gian, nỗ lực và sự kiên nhẫn để phát triển.

+ Cách giảng dạy quan trọng: Cách giảng dạy có thể làm cho toán cao cấp trở nên dễ hiểu hơn. Giảng viên và tài liệu giảng dạy phải tận dụng các ví dụ thực tế và cách giải thích rõ ràng để giúp sinh viên hiểu sâu hơn.

+ Hỗ trợ từ giảng viên và đồng học: Hãy tìm kiếm sự hỗ trợ từ giảng viên và đồng học. Thường có những lớp học bù, buổi hướng dẫn cá nhân, hoặc nhóm học tập bạn có thể tham gia để học tốt hơn.

+ Áp lực không cần thiết: Đôi khi, áp lực do sự cạnh tranh hoặc sự kỳ vọng không cần thiết có thể làm tăng sự sợ hãi. Hãy nhớ rằng mục tiêu của bạn là học và hiểu, không phải là thi đấu với người khác.

+ Tự tin và tư duy tích cực: Đối mặt với sự sợ hãi bằng cách xây dựng sự tự tin và tư duy tích cực. Hãy tin tưởng vào khả năng của bạn và nhớ rằng mọi người đều có thể học toán cao cấp nếu họ cố gắng.

+ Học từ thất bại: Đôi khi, việc gặp khó khăn và thất bại trong quá trình học toán cũng là một phần quá trình học. Hãy sử dụng những sai lầm này để học hỏi và cải thiện. Toán cao cấp có thể là một môn học thách thức, nhưng nó cũng có thể là một trong những môn học thú vị và đầy hứng thú nếu bạn tiếp cận nó một cách đúng cách và có tư duy tích cực.

Sự cạnh tranh: Trong môi trường học tập, nhiều sinh viên cảm thấy sự cạnh tranh với các đồng học khi họ đối diện với môn học khó khăn như toán cao cấp, điều này cũng có thể tạo ra áp lực và sự sợ hãi. Sự cạnh tranh trong môi trường học tập có thể là một yếu tố góp phần làm tăng áp lực và sự sợ hãi đối với sinh viên, đặc biệt khi họ đối mặt với môn học khó như toán cao cấp. Tuy nhiên, có một số cách để quản lý sự cạnh tranh này và tận dụng nó để phát triển. Thay vì coi sự cạnh tranh như một trở ngại, hãy nhìn nó như một cơ hội để tăng cường khả năng của bạn. Sự cạnh tranh có thể thúc đẩy bạn nỗ lực hơn và dẫn đến sự cải thiện trong học tập.

Sự thiếu hiểu biết: Đôi khi, giảng viên hoặc tài liệu giảng dạy có thể không truyền đạt một cách rõ ràng hoặc dễ hiểu, làm cho việc học toán cao cấp trở nên khó khăn hơn.