Bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn lời giải

1. Công thức hệ thức lượng trong tam giác: 

a. Định lí cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có hệ thức sau:

b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là:  ta có:

c. Định lí sin

Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

d. Công thức diện tích tam giác 

Giả sử  là các đường cao  lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn lời giải:

Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo các góc của ΔABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

Ta có tổng 3 góc của một tam giác là 

b. Ta có:

Tương tự ta tính được:

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

– Nửa chu vi tam giác ABC:

– Diện tích tam giác ABC:

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:

– Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:

d. Ta có:

Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 120⁰

a. Tính diện tích ΔABC

b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a. Diện tích tam giác ABC:

b. Ta có:

– Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13

a. ΔABC có góc tù hay không?

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC

c. Tính diện tích ΔABC

HS: Tự giải

Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 60⁰, góc B = 45⁰, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.

HS: Tự giải

Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, h_a, R.

HS: Tự giải

Bài 6. Cho ΔABC có m_b = 4, m_c = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.

HS: Tự giải

Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.

HS: Tự giải

Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

HS: Tự giải

Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b² – a²) = c(a² – c²)

HS: Tự giải

Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

HS: tự giải

Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a.

b.

HS: tự giải

Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

a.

b.

HS: tự giải

Bài 13. Cho tam giác ABC biết

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

HS: tự giải

Bài 14. Cho tam giác ABC biết . Tính góc A, cạnh b, c của tam giác đó.

HS: tự giải

Bài 15. Cho tam giác ABC biết . Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.

Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?

HS: tự giải

Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

HS: tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a,  và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì

Mặt khác

3. Bài trắc nghiệm về hệ thức lượng trong tam giác có đáp án:

Bài 1: Bộ ba nào sau đây không phải là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông?

    A. (6; 8; 10)        B. (7; 24; 25)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 5; AC = 7, BH = x, CH = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

    A. 5² = x²(x + y)²         B. 5² = x(x + y)

    C. 7² = y(x + y)         D. 5² + 7² = (x + y)²

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 14, BC = 16, BH = x, CH = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

    A. 14² = y.16         B. 16 = x + y

    C. xy = 16         D. A và B đúng

Bài 4: Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK. Biết MN = x, MP = y, NK = 2, PK = 6. Chỉ ra một hệ thức sai:

    A. 8² = x² + y²         B. x² = 2.8

    C. 6.8 = y²         D. x.y = 2.6

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = AC = y, AH = 5, BH = CH = x. Xác định x và y

    A. x = 5; y = 5√2         B. x = √5; y = 5√2

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 7, AC = 9, AH = x, BC = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

    B. xy = 7.9

    C. 7² + 9² = y²

    D. 7² = x.y

Bài 7: Cho tam giác PQR vuông tại P, đường cao PS. Biết PS = 3, SQ = 2, SR = x, PR = y. Chỉ ra một hệ thức sai:

    A. 3x = 2y         B. y² = x(x + 2)

    C. x² + 3² = y²         D. 3² = 2x

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = x, AC = y, AH = 2, BC = 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài là:

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, sinB/sinC = ?

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng B bằng 30⁰, BC = 8. Độ dài AC là:

    A.4         B.8√3

    D. 2

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6, tan⁡B = 5/12 Độ dài AC là:

    A.2         B. 5√2         C.5         D.2,5

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chỉ ra một hệ thức sai:

Bài 13: Cho cos⁡α = 0,8. Tính sin α ( với α là góc nhọn)

    A. sin⁡α = 0,6         B. sin⁡α = ±0,6

    C. sin⁡α = 0,4         D. Kết quả khác

Bài 14: Chỉ ra một hệ thức sai:

    A.sin⁡ 25⁰ = sin⁡ 70⁰         B. tan⁡ ⁡ 65⁰.cot65⁰ = 1

    C.sin⁡ 30⁰ = cos⁡60⁰         D.sin⁡ 75⁰ = cos⁡ 75⁰

Bài 15: Cho các biểu thức sau, biểu thức nào âm:

    A. sin² x + cos² x         B. sinx – 1

    C. cosx + 1         D. sin⁡ 30⁰

Bài 16: Cho tam giác ABC. Biết AB = 21, AC = 28, BC = 35. Tam giác ABC là tam giác gì?

    A. Δ cân tại A         B. Δ vuông ở A

    C. Δ thường         D. Cả 3 đều sai.

Bài 17:

    A. M = 1         B. M = -1         C. M = 0,5         D. M = √3/2

Bài 18: Cho ΔABC đều, đường cao AH. Biết HC = 3, độ dài AC và AH là:

    A. AC = 3√3; AH = 4         B. AC = 6√3 ; AH = 6

    C. AC = 6; AH = 3√3         D. Cả 3 đều sai

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 5; AC = 7. Độ dài AH là:

Bài 20: Cho tam giác ABC có góc B bằng 45⁰, góc C bằng 30⁰. Nếu AC = 8 thì AB bằng:

    A. 4         B. 4√2         C. 4√3         D. 4√6

Đáp án và hướng dẫn giải