Những hằng đẳng thức đáng nhớ là phần nội dung quan trọng được học trong chương trình Toán 8. Để giúp các em nắm vững phần này, mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết về hằng đẳng thức đáng nhớ:
Với A và B là hai biểu thức bất kì, ta có:
* Các dạng toán thường gặp
+ Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
+ Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
+ Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+ Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
+ Dạng 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau
+ Dạng 6: Tìm x
2. Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 cơ bản, nâng cao có đáp án:
Đáp án bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 1:
a,
b, 
c,
d, 
Bài 2: a, 
Xét vế trái có:
Bài 3: 
Bài 4: 
Vậy 
3. Bài tập hằng đẳng thức cơ bản có đáp án:
Bài 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng
(2x + 1)²
(2x + 3y)²
(x + 1)(x – 1)
m² – n²
(5x + 3yz)²
(yx – 3ab)²
(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)
(9x + 3)²
(xy + 2yz)²
Lời giải
(2x+1)² = 4x²+ 4x +1
(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²
(x+1)(x-1) = x²-1
m² – n² = (m – n)(m + n)
(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²
(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²
(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x]xˆ4+27
(9x+3)² = 81x² + 54x + 9
(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²
Bài 2: Sử Dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:
a. A=(x+y)² – (x-y)²
– Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức
(A ± B)² = A² ± 2AB+B²
A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy
– Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)
A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy
b. B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²
– Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức
(A ± B)² = A² ± 2AB+B²
B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²
– Cách 2:
B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²
Bài 3: Tính nhanh các biểu thức sau
153² + 94.153 + 47²
126² – 126.152 + 5776
Lời giải:
153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000
126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²
Bài 4: Tính:
a, (x + 2y)2
b, (x – 3y)(x + 3y)
c, (5 – x)2
Lời giải:
a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2
Bài 5: Tính:
a, (x – 1)2
b, (3 – y)2
c, (x – 1/2)2
Lời giải:
a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1
b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2
c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4
Bài 6: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6x + 9
b, x2 + x + 1/4
c,2xy2 + x2y4 + 1
Lời giải:
a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2
c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2
Bài 7: Rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
Lời giải:
a, (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2×2 + 2y2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2
= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
Bài 8: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Lời giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)
Ta có: a2 = (5k + 4)2
= 25k2 + 40k + 16
= 25k2 + 40k + 15 + 1
= 5(5k2 + 8k +3) +1
Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5
Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101
c, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 97
Lời giải:
a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)
b, Thay x = 87, y = 13, ta được:
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
= (87 + 13)(87 – 13)
= 100.74 = 7400
c, Ta có: x3 + 9×2 + 27x + 27
= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33
= (x + 3)3
Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000
Bài 10: Chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
Lời giải:
a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2
= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2)(c2 + d2)
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Bài 11: Chứng tỏ rằng:
a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x
b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x
Lời giải:
a, Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1
Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x
Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.
b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1
Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x
Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a, P = x2 – 2x + 5
b, Q = 2×2 – 6x
c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10
Lời giải:
a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4
Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4
Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.
b, Ta có: Q = 2×2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )
= 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2
Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2
Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3
Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .
c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)
= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4
Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0
⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4
⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0
⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2
Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2
