Các trường hợp đồng dạng của tam giác là phần rất quan trọng trong môn hình học, cần phải nắm bắt kĩ để chúng ta có thể làm bài tập một cách dễ dàng và chính xác nhất. Sau đây sẽ là một số bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác có đáp án, mời các bạn tham khảo!
Mục lục bài viết
1. Bài tập luyện tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác:
Bài 1: Cho tam giác BCD với góc vuông tại điểm B. Vẽ thêm hai tam giác ngoài tam giác BCD, cụ thể là tam giác BCE vuông cân tại C và tam giác BDG vuông cân tại D. Đặt I là điểm nằm ở giao điểm giữa BC và DE, cùng với L là điểm ở giao điểm giữa BD và CG. Hãy chứng minh rằng:
a) BI = BL
b) BI2 = CI. DL
Bài 2: Cho hình bình hành BCDE, đường thẳng a đi qua B lần lượt cắt CE, CD, ED theo thứ tự tại F, L, H. Chứng minh rằng:
a) BF2 = FL. FH
b) 1/BF = 1/BL + 1/BH
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua B thì tích CL. FH có giá trị không đổi
Bài 3: Cho tứ giác EFJH, các điểm F, G, H, I theo thứ tự chia trong các cạnh EF, FH, JH, HE theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) FH = GI
b) FH vuông góc với GI
Bài 4: Cho BCD ( BC < BD) các phân giác CE, DF
a) Đường thẳng qua E và song song với CD cắt BC ở L, chứng minh F nằm giữa C và L
b) Chứng minh: DE> EF> CF
Bài 5: Cho tam giác BCD có, BC= 9 cm, CD= 16 cm
a) Tính BD
b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?
Bài 6: Cho tam giác BCD cân tại B và P là trung điểm của CD. Một điểm P di động trên BC, lấy điểm F trên BD sao cho . Chứng minh rằng
a) Tam giác ECP đồng dạng tam giác PDF
b)Tam giác EPF đồng dạng tam giác ECP đồng dạng tam giác PDF
c) EP, FP lần lượt là phân giác của các góc CEF, DFE
d) khoảng cách từ P đến đoạn FE không đổi khi E di động trên BC
2. Đáp án bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác:
Bài 1:
a) Đặt BC = c, BD = b. CE // BD (cùng vuông góc với BC) nên BI/BC = BD/CE = b/c => BI/IC = b/c => BI / (IC+BI) = b/(b+c)
Hay BI/BC = b/(b+c) => BI/c= b/(b+c) => BI = b.c/(b+c) (1)
BC // DG (cùng vuông góc với BD) nên BL/LD = BC/DG = c/b => BL/LD = c/b => BL/(LD + BL) = c/(b+c)
Hay BL/BD = b/(b+c) =>BL/b = c/(b+c) =>BL = bc/(b+c) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BI = BL
b) Từ BI / IC = BD / CE = b/c và BL / LD = BC / DG = c/b suy ra BI / IC = LD / BL => BI / IC = LD / BI (Vì BI = BL) => BI2 = CI . LD
Bài 2:
a) Vì ABCD BCDE là hình bình hành và K L thuộc BC CD nên AD // BK BE // CL, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
FL / BF = FC / FE = BF = FH => FL / BF = BF / FH => BF2 = FL.FH
b) Ta có: BF / BL = EF / EC ; BF / BH = CF / CE nên BF / BL + BF / BH = CF / CE + EF / EC = CE / CE = 1 => BF. (1/BL + 1/BH) = 1 => 1/ BF = 1/ BL + 1/ BH (đpcm)
c) Ta có: CL / LD = BC / DH => CL / LD = a / DH (1);
LD / BE = DH / EH => LD / b = DH/ EH (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CL / b = a / EH +> CL. EH= ab không đổi
(Vì a = BC; b = BE là độ dài hai cạnh của hình bình hành BCDE không đổi)
Bài 3:
Gọi M, N O, P theo thứ tự là trung điểm của CF, DG DG, EH
Ta có DO = ½ DG = ⅓ => CO / CD = ⅓ => CF / CB = CO / CD = ⅓ => FO // BD => FO / BD = CO / CF = ⅔ => FO = ⅔ BD (1)
Tương tự, ta có: PG // CE => PG / CE = DG / DC = ⅔ => PG = ⅔ CE (2)
mà BD = CE (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : FO = PG (a)
Tương tự như trên ta có: OH // CE, PI // BD và OH = PG = ⅓ BD (b)
Mặt khác FO // BD; OH // CE và BD vuông góc CE => FO vuông góc OH => FOH = 90º (4)
Tương tự, ta có: GPI = 90º (5)
Từ (4) và (5) suy ra FOH = GPI = 90º (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra FOH = GPI (c.g.c) =>FH = GI
b) Gọi giao điểm của FH và GI là P; của FO và GI là Q; của FO và GP là R thì QRG = 90º => RQG + RGQ = 90º mà RQG = PQF (đối đỉnh),RFQ = RGQ (Tam giác FPH = tam giác GOI)
Suy ra FPQ = QRG = 90º => FP vuông góc PQ => FH vuông góc GI
Bài 4:
a) CE là phân giác nên BE/ED = BC/CD < BD/CD = BF/ FC= => BE/ED < BF/FC (1)
Mặt khác LE // CD nên BE / ED = BL / LC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BL / LC < BF / FC => BC / LC < BC / FC => LC > FC => F nằm giữa L và C
b) Gọi O là giao điểm của EF và DC
Ta có DCE = LEF (Góc so le trong) => LCE = LEF
mà F nằm giữa L và C nên LEC > FEC => LCE > FEC => FCE > FEC => FC < EF
Ta lại có DCE + FDC = FEC + EFD => EFD > FDC => EFD > EDF ( Vì = EDF = FDC)
Suy ra DE > FE => DE > FE > CF
Bài 5:
Cách 1: Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho: CE = CD
Tam giác BDE tam gác BCD (g.g) => BD / BC = BE / BD
= > BD2 = BC. BE = BC (BC + CD) = 9(16 + 9) = 225 => BD = 15 cm
Cách 2: Vẽ tia phân giác CF của tam giác BCF tam giác BDC
BC / BD = BF / BC = CF / DC = BD / (BC + DC) => BD2= BC ( BC + DC ) = 9(9 + 16) = 225 => BD= 15 cm
b) Gọi BD = c, BC = d, CD = b thì từ câu a ta có c2 = d(d + b) (1)
Vì c > d nên có thể c = d + 1 hoặc c = d + 2
+ Nếu c = d + 1 thì (d + 1)2 = d2 + db => 2d + 1 = db => d(b – 2) = 1
=> d = 1; c = 2; b = 3 (loại)
+ Nếu c = d + 2 thì d(b – 4) = 4
– Với d = 1 thì b = 8 (loại)
– Với d = 2 thì b = 6 (loại)
– với d = 4 thì b = 6 ; c = 5
Vậy d = 4; c = 5; d = 6
Bài 6:
a) Từ DF = PC2 / CE => DF / PC = PC / CE và C = D (gt) ) =>Tam giác ECP đồng dạng tam giác PDF
b) Từ câu a suy ra P3 = F2 (1)
Vì C, P, D thẳng hàng nên P3 + EPF + FPD = 180º (2)
trong tam giác FPD thì F2 + D + FPD = 180º (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra EPF = C = D
Tam giác EPF và tam giác ECP có EP / EC = PF / PD (Do tam giác ECP đồng dạng tam giác PDF) và EP / EC = OE/OB (DoPD = PC) và EPF = C = D nên tam giác EPF đồng dạng tam giác ECP đồng dạng tam giác PDF
c) Từ câu b suy ra E1 = E2 => EP là phân giác của các góc CEF
Cũng từ câu b suy ra F1 = F2 => FP là phân giác của các góc DFE
d) Gọi PI, PG là khoảng cách từ P đến EF, DF thì PI = PG, mà P cố định nên PI không đổi => PG không đổi khi E di động trên BC
3. Lưu ý về các trường hợp đồng dạng của tam giác:
* Các trường hợp đồng dạng của tam giác
– Trường hợp thứ nhất, được gọi là cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ta thấy rằng ba cạnh của một tam giác bất kỳ có tỉ lệ giống hệt với ba cạnh của tam giác khác, thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác này đồng dạng với nhau.
– Trường hợp thứ hai, được gọi là cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Trong trường hợp này, nếu hai cạnh của một tam giác có tỉ lệ với hai cạnh của tam giác khác và hai góc tạo bởi các cặp cạnh này cũng bằng nhau, thì hai tam giác này đồng dạng với nhau.
– Trường hợp thứ ba, góc – góc – góc (g.g.g): Đây là trường hợp khi hai góc của một tam giác lần lượt tương ứng và bằng hai góc của tam giác khác, chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
*Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
– Tam giác vuông này có một góc nhọn mà góc nhọn đó bằng với góc nhọn của tam giác vuông khác.
– Tam giác vuông này có hai cạnh liền kề góc vuông có tỉ lệ với hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông khác.
– Nếu cạnh huyền và một cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông này có tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông kia, chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
