Phương trình đường thẳng lớp 10 là dạng kiến thức cơ bản, quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, thường xuyên xuất hiện trong các bài thi và kiểm tra cuối kỳ. Sau đây là kiến thức toán 10 kết nối tri thức: phương trình đường thẳng và các kiến thức liên quan, mời các bạn cùng tham khảo!
Mục lục bài viết
1. Phương trình đường thẳng:
Tổng quát:
Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
– Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.
– Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3, 1), B(4; 0), C(5; 3). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Giải
Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến AB ( 1; -1 )
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến BC ( 1; 3 )
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận n ( a; b ) là một vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2: 1) và nhận n ( 3 ; 4 ) là một vectơ pháp tuyến.
Giải
Đường thẳng Δ có phương trình là 3(x – 2)+ 4(y – 1) = 0 hay 3x + 4y – 10 = 0
Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng Δ : ax + by + c = 0
– Nếu b = 0 thì phương trình Δ có thể đưa về dạng x = m (với m = -c/a và vuông góc với Ox.
– Nếu b khác 0 thì phương trình Δ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = -a/b ; p= -c/b)
Hệ x = xo + at; y = yo + bt (a2 + b2 > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0 ; y0) và nhận u = (a ; b) làm vectơ chỉ phương.
Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: x = xo + at; y = yo + bt (a2 + b2 > 0 và t là tham số).
– Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.
– Vectơ u = (a ; b) là một vectơ chỉ phương của ∆.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ chỉ phương u= (–1 ; 3).
b) Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là x = 4 + 2t; y = -3 -t . Chỉ ra tọa độ một vectơ chỉ phương của ∆ và một điểm thuộc đường thẳng ∆.
Lời giải
a) Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ chỉ phương u = (–1 ; 3) nên có phương trình tham số là x = 1 – t; y = 2 +3t .
Vậ
b) Đường thẳng ∆ có phương trình tham số là x = 4 + 2t; y = -3 -t .
Khi đó ∆ có một vec tơ chỉ phương là (2 ; –1) và điểm (4 ; –3) thuộc ∆.
Vậy ∆ có một vec tơ chỉ phương là (2 ; –1) và điểm (4 ; –3) thuộc ∆.
2. Bài tập cơ bản kèm đáp án:
Câu 1: Cho đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là u→(-3;5). Vectơ nào dưới đây không phải là vec to chỉ phương của Δ?
Đáp án D
Các vectơ khác vectơ – không, cùng phương (tọa độ tỉ lệ) với u→ thì đều là VTCP của đường thẳng Δ.
Do đó vectơ ở phương án D không phải là vec tơ chỉ phương.
Câu 2: Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
Đáp án C
Đường thẳng Δ có hệ số góc k = 4 nên có vectơ chỉ phương u→ = (1;4). Do đó C là phương án đúng.
Chú ý. Học sinh có thể nhầm sâng các loại phương trình khác của đường thẳng như các phương án ở A và B. Đây đều là phương trình của đường thẳng nhưng không là phương trình tham số.
Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y +2 = 0 và d2: mx +2y – 3 = 0. Hai đường thẳng song song với nhau khi:
A. m = 3 B. m=3/2
C. m=-3/2 D. m = – 3
Đáp án C
Hai đường thẳng song song khi:
Câu 4: Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và
Góc giữa hai đường thẳng là:
A. α = 30o B. α=45o C. α=60o D. α=90o
Đáp án B
Hai đường thẳng lần lượt có các vectơ chỉ phương là u1→=(1;3) và u2→=(-1;2) nên ta có
Do đó góc giữa hai đường thẳng là α = 45o.
Câu 5: Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:
A. m=±1
B. m = 1 và m = 4
C. m=±4
D. m = – 1 và m = 4
Đáp án C
Sử dụng công thức khoảng cách ta có:
Chú ý. Học sinh có thể thử lại các phương án được đưa ra để chọn đáp án đúng, tuy nhiên sẽ tốn nhiều thời gian hơn là làm bài toán trực tiếp.
Câu 6: Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là:
A. x – 2y + 8 = 0
B. 2x + 5y – 11 = 0
C. 3x – y + 9 = 0
D. x + y – 1 = 0
Đáp án B
3. Bài tập trắc nghiệm nâng cao kèm đáp án:
Câu 1: Cho điểm A(3; 5) và các đường thẳng d1: y = 6, d2: x = 2. Số đường thẳng d qua A tạo với các đường thẳng d1, d2 một tam giác vuông cân là
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Do d1 ⊥ d2 nên d có tính chất trên thì d tạo với tía Ox góc 45o hoặc 135o. Mà d1, d2 cắt nhau tại B(2; 6) nên AB tạo với Ox góc 135o. Do đó, trong hai đường thẳng kề trên chỉ có đường thẳng tạo với Ox góc 45o thỏa mãn yêu cầu, còn đường thẳng tạo với Ox góc 135o phải loại bỏ do khi đó không tạo thành tam giác. Đáp án là phương án B.
Chú ý. Học sinh thường quên xét góc của AB tạo với Ox và chọn luôn phương án là hai đường thẳng.
Câu 2: Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Đáp án D
Nếu n→ là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng thì kn→ (với k ≠ 0) đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vì thế có vô số vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.
Câu 3: Cho đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u→=(2;-3). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của Δ?
Đáp án A
Nếu u→ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì ku→ (với k ≠ 0) đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Vì vậy các vectơ có tọa độ tỉ lệ với u→=(2;-3) đều là vectơ chỉ phương.
Ta có:
Do đó, trong các vectơ đã cho có u1→ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Câu 4: Cho đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương là u→=(2;-3). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của Δ?
Đáp án C
Gọi u→; n→ lần lượt là vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆:
Câu 5: Cho đường thẳng Δ có phương trình
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của Δ?
Đáp án D
Câu 6: Cho đường thẳng Δ có phương trình y = 4x – 2. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của Δ?
Đáp án B
Đường thẳng Δ có phương trình y = 4x – 2 ⇔ 4x – y – 2 = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là n→=(4;-1)
