Biến cố đối là gì? Bài tập biến cố đối cực hay có đáp án?

1. Biến cố đối là gì?

Vậy hãy áp dụng ví dụ về bộ bài tú lơ khơ phía trên. Chúng ta đã xác định tỷ lệ rút được một lá K sẽ là 1/13. Do đó, nếu chúng ta đặt một biến cố mới với nội dung là biến cố “không rút được một con K”. Biến cố này là ngược lại với biến cố A được gọi là “biến cố đối”, được ký hiệu là 

Khi đó, tỷ lệ của của biến cố đối A được thể hiện bằng công thức: 

Vì vậy, có thể hiểu đơn giản biến cố đối là trường hợp không xảy ra một biến cố trong một không gian mẫu được cung cấp trước đó. Khái niệm này giúp các nhà toán học thay vì tính một phương án vốn có tỷ lệ xảy ra rất thấp, mà chỉ cần tính toán tỷ lệ xảy ra trường hợp thường xảy ra rồi tính ra tỷ lệ cần tìm đó.

– Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.

– Biến cố đối của A:  = Ω\A

– Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đã đối nhau.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường

A là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 10”

B là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 11”

Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc, nhưng A và B không phải là hai biến cố đối nhau.

2. Định lý và phương pháp giải biến cố đối:

2.1. Định lý:

Biến cố đối chỉ có một định lý duy nhất. Theo đó, gọi biến cố đối của biến cố O bất kỳ trong không gian mẫu là

Khi đó, chúng ta có phương trình sau:

Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì sẽ đối kháng với nhau. Tuy nhiên, điều đối kháng với nhau chưa chắc đã đúng trong mọi trường hợp

Ví dụ trong một tập hợp người ở một địa điểm, biến cố A: Số người mặc quần áo màu đỏ và biến cố B: Số người mặc quần áo màu vàng tuy có đối kháng với nhau, nhưng không được coi là biến cố đối, trừ trường hợp tất cả mọi người ở đó chỉ mặc 1 trong 2 màu.

2.2. Phương pháp giải:

– Cho A là một biến cố. Khi đó, biến cố “ không xảy ra A”, kí hiệu là A, được gọi là biến cố đối của A.

– Định lí: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối Alà:

P(A)=1-P(A)

– Nếu hai biến cố A và A đối nhau thì n(A)+ n(A)= n(Ω)

Chú ý: Hai biến cố đối là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên; hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối.

3. Bài tập biến cố đối cực hay có đáp án:

Ví dụ 1: Một cái túi chưa 100 quả bóng, đánh số từ 1 đến 100. Một quả bóng được lấy ra khỏi túi một cách ngẫu nhiên

Câu hỏi

a) Tỷ lệ số ở trên bóng chia hết cho 3

b) Tỷ lệ số ở trên bóng không chia hết cho 3

Bài làm

Trong trường hợp trên, không gian mẫu là 100

a) Số lượng quả bóng có số chia hết cho 3 là 100/3 = 33 có lẻ

Gọi biến cố rút 1 quả bóng ra có số chia hết cho 3 là A

P(A) = 33/100  

b)  Tỷ lệ số ở trên bóng không chia hết cho 3 là biến cố đối của A, tức

Ví dụ 2:

Một học sinh chưa chuẩn bị bài cũ buộc phải đoán 10 câu hỏi đúng – sai cho bài kiểm tra bất ngờ. Hãy tìm tỷ lệ cho 

a) Học sinh đó trả lời ít nhất 01 câu đúng

b) Học sinh đó trả lời cả 10 câu đúng

c) Học sinh đó không trả lời đúng câu nào

Bài làm

Gọi biến cố cho các vấn đề a, b, c là A, B, C

Không gian mẫu là {đúng, sai}

a) 

Theo đó, biến cố A sẽ là {đúng}

Tỷ lệ HS đó đúng 1 câu là 1/2, trên 10 câu. Do đó, tỷ lệ học sinh đó làm đúng 1 câu trên 10 là

Suy ra, học sinh đó có tỷ lệ 99.9% đúng được 1 câu trong số 10 câu này

b) Việc học sinh đó trả lời cả 10 câu đúng là biến cố đối của A. Do đó suy ra

Học sinh đó chỉ có tỷ lệ 0,1% tỷ lệ thành công trong việc đoán bừa cả 10 câu đúng

c) Việc học sinh đó đoán một cách ngẫu nhiên cả 10 câu đúng thực chất cũng tương tự với việc học sinh đó đoán một cách ngẫu nhiên sai cả 10, vì cả 2 đều chỉ có 1 đơn vị trong biến cố của mình. Do đó:

Tỷ lệ học sinh đoán trúng 10 câu đúng cũng tương tự với tỷ lệ học sinh đoán sai cả 10 câu. Do đó có khả năng là học sinh đó biết tất cả đáp án và cố gắng đánh lệch đi, hoặc chỉ đơn giản là học sinh đó rất không may mắn.

Ví dụ 3: 

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để: 

a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm. 

b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn. 

c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7. 

d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. 

 Giải: 

a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm.

 Khi đó: 

– Không gian mẫu gồm 6 trường hợp

=> Số phần tử của không gian mẫu n = 6;

– Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trường hợp. P(A) = 1/6 .

b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.

Khi đó:

– Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;

– Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trường hợp {2, 4, 6}.

-> P(A) = 3/6 .

c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7.

Khi đó:

– Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;

– Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trường hợp (bằng số trường hợp thuận lợi của không gian mẫu).

P(A) = 6/6 = 1.

d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm.

Khi đó:

– Không gian mẫu gồm 6 trường hợp;

– Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm).

P(A) = 0/6 = 0

Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân. Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó:

a) Có đúng một quân bài màu đen

b) Có ít nhất một quân Át

Giải:

Số phần tử không gian mẫu là số cách có thể chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài 52 lá.

-> Số phần tử không gian mẫu =  = 22100

a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra đúng một quân màu đỏ

Để A xảy ra, phải có 2 bước

Bước 1: Lấy ra 2 quân đen trong số 26 lá bài màu đỏ của bộ bài 

Do đó có  cách lấy

Bước 2: Lấy ra 1 quân đen trong số 26 quân bài màu đen của bộ bài. Có 26 cách lấy

-> Áp dụng công thức nhân xác suất, số trường hợp thuận lợi của biến cố A là 325 * 26 = 8450

Vậy xác suất

b) Gọi B là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có ít nhất một quân Át

Biến cố B được tạo từ tổng của 3 biến cố con khác

Biến cố B1: Có 1 quân Át và 2 quân khác. Tức số cách được 1 con Át trong 4 con Át là 1 trong 4, và số cách rút được 2 quân khác Át là 2 trong 48 (trừ đi 4 con Át)

Biến cố B2: Có 2 quân Át và 1 quân khác Át. Tức số cách rút được 2 con Át trong 4 con Át và cách rút được 1 con khác Át trong 48 con

Biến cố B3: Rút được cả 3 quân đều là Át

 Tổng số trường hợp thuận lợi của biến cố B là 4512 + 288 + 4 = 4804

Tức tỷ lệ rút 3 lá bài bất kỳ mà có ít nhất 01 con Át là 21,73%