Hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học, và để hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm số theo biến số, chúng ta sử dụng các khái niệm "đồng biến" và "nghịch biến". Dưới đây là bài viết về chủ đề: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nhanh, mời bạn đọc theo dõi.
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết để tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nhanh:
Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).
Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .
b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K .
c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Các dạng bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nhanh nhất:
Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị xi (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 4. Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.
Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.
Phương pháp giải.
– Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.
– Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:
+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).
+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).
Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).
– Các bước giải:
Bước 1: Ta tính đạo hàm g‘(x)
Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho g‘(x)
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của g‘(x) vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).
Dạng 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.
Phương pháp giải.
Bài toán 1: Cho hàm y = f(x) hoặc hàm y = f‘(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).
Phương pháp:
– Tính đạo hàm g‘(x) = f‘(u(x)).u‘(x)
– Xét dấu g‘(x) dựa vào dấu của f‘(u(x)) và u‘(x) theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi xét dấu f‘(u(x)) dựa vào dấu của f‘(x) như sau: Nếu f‘(x) không đổi dấu trên D thì f‘(u(x)) không đổi dấu khi u(x) ∈ D.
Bài toán 2: Cho hàm y = f(x) hoặc y = f‘(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)
Phương pháp:
– Tính g‘(x) = f‘(u(x)).u‘(x) + h‘(x)
– Lập bảng xét dấu g‘(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức f‘(u(x)).u‘(x) và h‘(x)
Bài toán 3: Cho hàm y = f(u(x)) hoặc hàm y = f‘(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y = f(x)
Phương pháp: Giả sử ta có: f‘(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D. Ta cần giải BPT f‘(x) > 0
– Đặt t = u(x) => x = v(t)
– Giải bất phương trình: f‘(t) > 0 ⇔ f‘(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D ⇔ x = v(t) ∈ D ⇔ t ∈ D‘
– Vậy f‘(t) > 0 ⇔ x ∈ D‘
Dạng 4. Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác định (khoảng xác định) của hàm số.
Phương pháp giải.
Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên R
Bước 1: Tập xác định: D = R
Bước 2: Đạo hàm y‘ = 3ax2 + 2bx + c .
Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a ≠ 0).
– Hàm số đồng biến trên 
– Hàm số nghịch biến trên 
Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có a chứa tham số thì ta cần xét a = 0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên R hay không.
– Không xét bài toán tìm m để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm là x = 0.
Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số 
(c ≠ 0,ad – bc ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
Bước 1: Tập xác định: 
Bước 2: Đạo hàm:
Bước 3: Điều kiện đơn điệu:
– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y‘ > 0,∀x ∈ D ⇔ ad – bc > 0 → m
– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y‘ < 0,∀x ∈ D ⇔ ad – bc < 0 → m
Lưu ý: Nếu hàm số 
có c chứa tham số thì ta nên xét c = 0 để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không.
Dạng 5. Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng xác định K cho trước.
Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
Phương pháp:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y‘ = f‘(x) .
Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
– Hàm số đồng biến trên K ⇔ y‘ ≥ 0,∀x ∈ K .
– Hàm số nghịch biến trên K ⇔ y‘ ≤ 0,∀x ∈ K.
Bước 3:
Cách 1: | Biến đổi theo dạng m ≥ g(x),∀x ∈ K (hoặc m ≤ g(x),∀x ∈ K ). Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi ∀x ∈ K Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m |
Cách 2: | Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y‘ = 0 (x phụ thuộc m). Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm). |
*Tìm tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên một khoảng có độ dài p.
Phương pháp:
Bước 1: Đạo hàm y‘ = 3ax2 + 2bx + c.
Bước 2:
– Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p ⇔ y‘ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 
– Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p ⇔ y‘ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 
3. Bài tập tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nhanh:
Bài 1: Tìm m để hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn giải
Ta có: y’=-3{{x}^{2}}+6x+3m
Hàm số nghịch biến trên 
với mọi 
đúng với mọi giá trị thuộc khoảng (0,+∞)
Xét 
với 
Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả 
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 
đồng biến trên 
A. m < 2 . B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2
C. 1 ≤ m < 2 . D. m ≤ 0 .
Lời giải
Điều kiện: 
Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:
Ta có 
Từ (*) và (**) suy ra 
