Công thức tính Tích có hướng của 2 vecto trong không gian

1. Công thức tính tích có hướng của 2 vecto trong không gian:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a1;a2;a3 ) và b→=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a→ và b→ , kí hiệu là [a→ , b→ ], được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số.

-Tính chất

+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→ , b→ ]⊥ b→

+ [a→ , b→ ]=-[b→, a→ ]

+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→ , k→ ]= i→ ; [k→ , i→ ]= j→

+ |[ a→ , b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin⁡( a→ , b→ )

+ a→ , b→ cùng phương ⇔ [a→ , b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

2. Bài tập về công thức tính tích có hướng của 2 vecto trong không gian:

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2). Hãy trả lời các câu hỏi:

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Lời giải:

AB→ =(-2;1;1); AC→ =(-2;1; -1); AD→ =(1; -1; -3)

⇒[AB→ , AC→ ]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→ , AC→ ]. AD→ =2≠0

⇒AB→ , AC→ , AD→ không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) VABCD=1/6 |[AB→ , AC→ ]. AD→ |=2/6=1/3

Ta có: BC→ =(0;0; -2), BD→ =(3; -2; -4)

⇒[ BC→ , BD→ ]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC→ , BD→ ]|=√13

VABCD=1/3 d(A;(BCD)).SBCD

⇒d(A;(BCD))

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Hãy chứng minh AB và CD cắt nhau.

Lời giải:

+ Ta có: AB→ =(3; -5; -8); AC→ =(5; -6; -11);

AD→ =(7; -8; -15), CD→ =(2; -2; -4)

⇒[ AB→ , AC→ ]=(7;-7;7) ⇒[ AB→ ,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

⇒ AB→ , AC→ , AD→ đồng phẳng.

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (1)

+ [AB→ , CD→ ]=(4; -4;4) ≠0→ ⇔ AB→ , CD→ không cùng phương (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB và CD cắt nhau.

Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Hãy tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Lời giải:

+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)

⇒[ AB→ , AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→ , AD→ ]. AE→=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB→ , AD→ ]. AE→ |=1

+ SAEFB=|[ AB→ , AE→ ]|=√3

⇒SDCGH=SAEFB=√3

VABCD.EFGH=d(A;(DCGH)).SDCGH

⇒d(A;(DCGH))

3. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Hãy tính diện tích tam giác ABC:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB→ =(3; -2;1); AC→ =(1;0;2)⇒[AB→ , AC→ ]=(-4; -5;2)

SABC=1/2 |[AB→ , AC→ ]|=(3√5)/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là bao :

   A. 1   B. 2

   C. 1/3   D. 1/2

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

AB→ =(-1; 1;0); AC→=(-1;0;1); AD→=(-3;1; -1)

⇒[AB→ , AC→ ]=(1;1;1)⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-3

VABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Hãy cho biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là bao nhiêu:

   A. √5   B. √3

   C. 4√2   D. 2√5

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-5; 0;-10); AC→=(3;0;-6); BC→=(8;0;4)

AB=5√5;AC=3√5;BC=4√5

SABC=1/2 |[ AB→ , AC→ ]|=30

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác

Ta có:

S=pr

⇒r =√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Hãy cho biết thể tích tứ diện ABCD là bao nhiêu:

   A. 3   B. 4

   C. 9   D. 6

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

AB→=(3; 6;3); AC→=(1;3;-2); AD→=(2;-2; 2)

⇒[ AB→ , AC→ ]=(-21;9;3)⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-54

VABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=9

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào dưới đây:

   A.

   B.

   C.

   D.

Lời giải:

Đáp án : D

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là bao nhiêu:

   A. (2√30)/5   B. (√30)/5

   C. (√10)/5   D. (√6)/2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-1; 0;1); AC→=(1;1;1)⇒[AB→ , AC→ ]=(-1;2;-1)

SABC=1/2 |[ AB→ , AC→ ]|=√6/2

BC=| BC→ |=√5

SABC=1/2 h.BC ⇒h=(2S)/BC=√(30)/5

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Hãy cho biết thể tích hình chóp S.OAMN là:

   A. 1   B. 2

   C. 4   D. 6

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(1;1;0), OM→=(m;0;0), ON→=(0;n;0), OS→=(0;0;1)

[ OA→ , OM→ ]=(0;0; -m)⇒ OS→ . [ OA→ , OM→ ]=(0;0; -m)

⇒VS.OAM=1/6 |OS→ . [OA→ , OM→ ]|=m/6

[OA→ , ON→ ]=(0;0; m)⇒ OS→ . [OA→ , OM→ ]=(0;0; n)

⇒VS.OAN=1/6 |OS→ . [OA→ , ON→ ]|=n/6

Ta có:

VS.OAMN=m/6+n/6=(m+n)/6=1

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD là bao nhiêu:

   A. 3   B. 4

   C. 5   D. 6

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(2;5-;2); AC→=(-2;4;2); AD→=(2;5;1)

⇒[AB→ , AC→ ]=(2; -8;18) ⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=-18

VABCD=1/6 |AD→ . [AB→ , AC→ ]|=3

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Hãy cho biết độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

   A. 5   B. 6

   C. 7   D. 9

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Áp dụng công thức:

tính được: h= 9

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề dưới đây, cho biết mệnh đề nào sai ?

   A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

   B. Tam giác ABD là tam giác đều.

   C. AB⊥CD

   D. Tam giác BCD là tam giác vuông.

Lời giải:

Đáp án : D

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600 . Gọi C(0;0;c) với c>0. Hãy cho biết để thể tích tứ diện OABC bằng 16√3 thì giá trị thích hợp của c là bao nhiêu:

   A. 6   B. 3

   C. √3   D. 6√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(4;0;0), OB→=(x0;y0;0); OC→=(0;0;c)

OB=√(x02+y02 )=8 ⇒y0=4√3

OA→=(4;0;0); OB→=(4;4√3;0) ⇒[ OA→ , OB→ ]=(0;0;16√3)

⇒ OC→[ OA→ , OB→ ]=16c√3

VABCD=1/6 |OC→ [ OA→ , OB→]|=1/6.16c√3=16√3 ⇒c=6

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Hãy cho biết thể tích của tứ diện ABCD bằng bao  :

   A. 30   B. 40

   C. 50   D. 60

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

VABCD=1/6 |AD→ . [ AB→ , AC→ ]|=30

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là bao nhiêu:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

D thuộc Oy ⇒ D(0;y;0)

AB→=(1;-1;2); AC→=(0;-2;4); AD→=(-2;y-1;1)

⇒ [AB→ , AC→ ]=(0; -4;-2) ⇒ AD→ . [AB→ , AC→ ]=2-4y

VABCD=1/6 |AD→ . [ AB→ , AC→ ]|=|2-4y|/6=5

⇒ |2-4y|=30