Bài viết Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập. Mời bạn theo dõi bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn
Mục lục bài viết
1. Lý thuyết cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian:
Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng là 90∘. Kí hiệu cho tình trạng này là , trong đó và là hai mặt phẳng.
Điều kiện: Hai mặt phẳng và được coi là vuông góc với nhau nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với và cũng vuông góc với . Điều này có thể được mô tả như sau:
Nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và , tức là vuông góc với , thì và là hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Điều kiện trên có thể được diễn đạt bằng cách sử dụng kí hiệu như sau:
nếu và chỉ nếu có một đường thẳng sao cho .
Điều này là một phần của hệ thống các định nghĩa và điều kiện liên quan đến mối quan hệ giữa các mặt phẳng vuông góc.
Tích chất: Đây là những tính chất liên quan đến mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 3 chiều:
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau: Tất cả các đường thẳng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng giao tuyến của chúng.
+ Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm thuộc (P): Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (Q) nằm trong mặt phẳng (P).
+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba: Giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Những tính chất này là một phần quan trọng của hình học không gian và đặc biệt quan trọng trong các bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa các mặt phẳng và đường thẳng. Đối với những người nghiên cứu hình học không gian và các lĩnh vực liên quan, những tính chất này thường được sử dụng để chứng minh và giải các vấn đề phức tạp.
Giải bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian:
Chứng minh Hai Mặt Phẳng Vuông Góc:
Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
– Giả sử: Cho hai mặt phẳng và trong không gian.
– Chứng minh:
+ Chọn một đường thẳng nằm trên mặt phẳng .
+ Vì là mặt phẳng, nên nằm trên .
+ Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng .
+ Nếu không song song với đường thẳng , ta chọn một vector nằm trên và vuông góc với .
+ Khi đó, cũng vuông góc với vì và ( vuông góc.
+ Điều này chứng minh rằng chứa một đường thẳng vuông góc với .
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là 90∘.
– Giả sử: Cho hai mặt phẳng và trong không gian.
– Chứng minh:
+ Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng và của mặt phẳng .
+ Nếu và vuông góc nhau (), thì góc giữa và là 90∘.
+ Điều này chứng minh rằng góc giữa hai mặt phẳng là 90∘.
Chứng minh Đường Thẳng Vuông Góc với Mặt Phẳng :
Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
– Giả sử: Cho mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
– Chứng minh:
+ Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng .
+ Chọn hai mặt phẳng và cùng vuông góc với .
+ Vì và vuông góc với , nên theo Cách 1 ở trên, vuông góc với cả và .
+ Điều này chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng .
Cách 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
– Giả sử: Cho mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
– Chứng minh:
+ Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng .
+ Nếu hai mặt phẳng và vuông góc với nhau, thì theo Cách 2 ở trên, khi một đường thẳng nằm trong vuông góc với đường giao tuyến của và , nó cũng vuông góc với .
+ Điều này chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng .
2. Bài tập có lời giải vận dụng chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = AD, góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
b) Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng
A. (CDM)
B. (ACD)
C. (ABN)
D. (ABC)
c) Đường vuông góc chung của AB và CD là:
A. BN
B. AN
C. BC
D. MN
Bài giải:
Đáp án: a- B, b – C, c – D
a. Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều ⇒ tam giác ACD cân
⇒ BN CD và AN
CD ⇒ góc ANB là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b. Ta có CD (ABN) (do BN
CD và AN
CD) ⇒ (BCD)
(ABN)
c. CD MN; AB
(CDM) (do AB
CM và AB
DM)
MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (ABE) và mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (DFK)
b) Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (ACD)
Bài giải:
a) Ta có: {BE⊥CDAB⊥CD⇒CD⊥(ABE)”>
mà CD⊂(ADC)⇒(ADC)⊥(ABE)”>
Lại có: {DF⊥BCDF⊥AB⇒DF⊥(ABC)⇒DF⊥AC”>
Mặt khác DK⊥AC⇒AC⊥(DKF)⇒(ACD)⊥(DFK)”>
b) Do CD⊥(ABE)⇒CD⊥AE”>
Ta có : {(ACD)⊥(ABE)(ACD)⊥(DFK)OH=(ABE)∩(DFK)⇒OH⊥(ACD)”>
3. Các bài tập chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian:
Câu 1: Cho hai mặt phẳng và . Chứng minh rằng và là hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Câu 2: Cho mặt phẳng và đường thẳng . Chứng minh rằng đường thẳng là vuông góc với mặt phẳng .
Câu 3: Xét ba mặt phẳng , , và . Chứng minh rằng , , và đôi một vuông góc với nhau.
Câu 4: Cho hai mặt phẳng và . Tìm phương trình đường thẳng qua điểm và vuông góc với cả và .
Câu 5: Cho mặt phẳng và điểm . Tìm phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
Câu 6: Xét mặt phẳng và đường thẳng . Kiểm tra xem đường thẳng có cắt hay không, và nếu cắt, thì giao điểm là điểm nào.
Câu 7: Cho hai mặt phẳng và . Tìm điểm sao cho thuộc và đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Câu 8: Cho mặt phẳng và đường thẳng . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho và vuông góc nhau.
Câu 9: Xét ba mặt phẳng , , và . Tìm một điểm thuộc (, một điểm thuộc , và một điểm thuộc sao cho vuông góc với , vuông góc với , và vuông góc với .
Câu 10: Cho hai mặt phẳng và . Tìm phương trình mặt phẳng sao cho đi qua giao điểm của và và vuông góc với cả ( và (.
Câu 11: Xét mặt phẳng và đường thẳng . Kiểm tra xem đường thẳng có cắt hay không, và nếu có, tính toán giao điểm của chúng.
Các bài tập này đều mang tính chất ứng dụng và giúp học viên nắm vững kiến thức về mối quan hệ giữa hai mặt phẳng vuông góc trong không gian.
