Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m:

– Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (d_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (d_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

+ Hoặc mọi điểm của (d_m) đều di động

+ Hoặc có một vài điểm của (d_m) đứng yên khi m thay đổi

– Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (d_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

– Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

2. Bài tập ví dụ về bài toán chứng minh đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định:

Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn:

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x₀ và y₀ thỏa mãn.

Lời giải:

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ – m với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ – m với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – 3x₀ – m = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ – 1) + (y₀ – 3x₀) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Bài 2: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Lời giải:

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (2m – 3)x₀ + m – 1 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ – 3x₀ + m – 1 với mọi m

⇔ y₀ – 2mx₀ – 3x₀ + m – 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ – 3x₀ – 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ

Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m – 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Lời giải:

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = mx₀ + 3m – 1 với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – 3m + 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ – 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Lời giải:

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (m – 1)x₀ + 2020 với mọi m

⇔ y₀ – mx₀ – x₀ – 2020 = 0 với mọi m

⇔ -mx₀ + (y₀ – x₀ – 2020) = 0 với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x – m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)

Bài 5: Chứng minh các đường thẳng có phương trình sau luôn đi qua 1 điểm cố định.

a, y = 3(m + 1)x – 3m – 2

b, (m + 2)x + (m-3)y – m + 8 = 0

Hướng dẫn giải

a, y = 3(m + 1)x – 3m – 2

Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M(x_o;y_o) với mọi m

Ta có: y_o = 3(m+1)x_o – 3m – 2

⇔ y_o = 3x_om + 3x_o – 3m – 2

⇔ (3x_o -3)m = y_o – 3x_o + 2

⇔ 3x_o – 3 = 0 và y_o – 3x_o + 2 = 0

⇔ x_o = 1; y_o = 1

b, (m + 2)x + (m-3)y – m + 8 = 0

Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M(x_o; y_o) với mọi m

Ta có: (m+2)x_o + (m-3)y_o – m + 8 = 0

⇔ mx_o + 2x_o + my_o – m + 8 = 0

⇔ m(x_o + y_o -1) + 2x_o – 3y_o + 8 = 0

⇔ x_o + y_o – 1 = 0 và -2x_o + 3y_o – 8 = 0

⇔ x_o = -1 và y_o = 2

Bài 6: Cho đường thẳng (d) có dạng: y=(2a-1)x-3.

a, Viết phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng đi qua A(1;-1)

b, Viết phương trình đường thẳng (d’) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục tung tại B có tung độ là 4/3 .

c, Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm C giữa (d) và (d’).

Hướng dẫn giải

a) A(1;-1) thuộc vào (d) nên: -1 = (2a-1).1 -3 ⇔ 2a = 3 ⇔ a = 3/2

Phương trình đường thẳng (d): y=(2. 3/2 – 1)x – 3 ⇔ y = 2x – 3.

b) Phương trình đường thẳng (d’) có dạng y = a’x+b’

(d’) vuông góc với (d) ⇔ a’.2 = -1 ⇔ a’ = -1/2

Vậy (d’): y= -1/2x + b

Tọa độ điểm B(0; 4/3) thuộc (d) ⇔ 4/3 = -1/2.0 + b ⇔ b = 4/3

Phương trình đường thẳng (d’): y= -1/2x + 4/3

c, Phương trình hoành độ giao điểm C giữa (d) và (d’):

2x-3 = -1/2x + 4/3

2x+ 1/2x= 4/3 + 3

5/2x = 13/3

x = 26/15

=> y = 2.26/15 – 3 = 7/15

Vậy C(26/15; 7/15)

Hướng dẫn giải

Gọi điểm cố định có tọa độ (x₀; y₀). Khi đó với mọi m ta có

m(2x₀ + 1) – 1 – y₀ = 0

Vậy đồ thị (d) của hàm số luôn đi qua một điểm cố định là điểm

Hướng dẫn giải

Gọi điểm cố định cần tìm có tọa độ (x₀; y₀). Khi đó với mọi giá trị của tham số m ta có

y₀ = (m + 5)x₀ + 2m -10

=> m(x₀ + 2) + 5x₀ – y₀ – 10 = 0

=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (−2; −20)

Hướng dẫn giải

Gọi điểm cố định có tọa độ (x₀; y₀). Khi đó với mọi giá trị của tham số m ta có:

y₀ = (m + 1)x₀ – 2m

=> m(x₀ – 2) + x₀ – y₀ = 0

=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (2; 2).

Hướng dẫn giải

Giả sử M(x₀; y₀) là điểm cố định của đường thẳng (d)

Khi đó ta có:

y₀ = (2m + 1)x₀ + m + 4

=> m(2x₀ + 1) + x₀ + 4 – y₀ = 0

=> Với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm  cố định

3. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định:

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x – 2m (d_m). Chứng minh rằng đồ thị hàm số (d_m) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

Bài 2: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 3: Cho hàm số y = (2m – 3)x + m – 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m – 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó

Bài 6: Cho hàm số y = mx – 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a, y = (m – 2)x + 3

b, y = mx + (m + 2)

c, y = (m – 1)x + (2m – 1)