Đạo hàm, trong toán học và khoa học tự nhiên, là một công cụ cực kỳ quan trọng và phổ biến được sử dụng để phân tích sự biến đổi của hàm số. Được sáng tạo bởi nhà toán học nổi tiếng Pierre-Simon Laplace vào thế kỷ 18, đạo hàm là một phần không thể thiếu của phạm vi rộng của lĩnh vực toán học và khoa học hiện đại.
Mục lục bài viết
1. Cách tính nhanh đạo hàm Toán 11 chính xác nhất:
Đạo hàm của hàm phân thức
Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức
Công thức đặc biệt: 
Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:
a.  | b.  |
Hướng dẫn giải
a. 
b. 
Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số 
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số 
Hướng dẫn giải
Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)2.
Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax2+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx2+2anx+bn−cm/(mx+n)2
Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f(x)=3ax2+2bx+c
Hàm số trùng phương: f(x)=ax4+bx2+c⇒f′(x)=4ax3+2bx.
Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)
Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.
2. Cách nhớ các công thức đạo hàm:
Việc nhớ công thức đạo hàm có thể khá phiền toái đôi khi, nhất là khi bạn mới bắt đầu học lớp 11. Nhưng đừng lo, có một số cách giúp bạn nhớ công thức đạo hàm một cách nhanh chóng và đơn giản hơn.
– Hiểu cơ bản: Đầu tiên, thử hiểu rõ về ý nghĩa của đạo hàm là gì. Đạo hàm của một hàm số là độ dốc của đồ thị của nó tại một điểm cụ thể.
– Công thức cơ bản: Có một số công thức cơ bản mà bạn cần nhớ, ví dụ như đạo hàm của hàm số mũ, hàm hằng, hàm số mũ tự nhiên, hàm số mũ , và hàm số logarith. Bạn có thể tập trung nhớ những công thức này trước, vì chúng thường xuất hiện nhiều trong các bài toán.
– Sử dụng biểu đồ: Hãy vẽ đồ thị của các hàm số và xem xét cách độ dốc thay đổi tại các điểm khác nhau. Đạo hàm là đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại mỗi điểm, điều này có thể giúp bạn hình dung và nhớ công thức hơn.
– Tập trung vào quy tắc: Quy tắc chuỗi như Quy tắc chuỗi sản phẩm và Quy tắc dấu hiệu là quan trọng. Nắm vững cách áp dụng chúng để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn.
– Luyện tập thường xuyên: Không có gì thay thế được cho việc luyện tập. Giải nhiều bài tập khác nhau với đủ loại hàm số sẽ giúp bạn quen thuộc và nhớ công thức hơn.
– Học từ các ví dụ: Hãy xem các ví dụ cụ thể và cách giải để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức đạo hàm trong từng trường hợp cụ thể.
– Ghi chép và tổ chức: Viết ra các công thức và ghi chú về cách áp dụng chúng. Tổ chức các ghi chú của bạn theo cách mà bạn dễ nhớ nhất.
– Nhớ các mẹo nhỏ: Có một số mẹo nhỏ giúp nhớ công thức, ví dụ như viết các công thức lên bảng hay giấy và dán ở nơi bạn thường xem, hoặc tạo ra các câu chuyện, kịch bản liên quan đến các công thức để dễ nhớ hơn.
– Mẹo ghi nhớ công thức đạo hàm qua bài thơ: Để giúp các em dễ ghi nhớ công thức tính đạo hàm, nhiều thầy cô đã nghĩ ra bài thơ chế khá thú vị như sau:
X mà có mũ (en) n
Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên
Rồi thì số mũ ở trên
Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi.
Xn=nxn-1
Đạo hàm căn x bạn ơi
Bằng thương đấy nhé bạn thời chớ quên
Tử là số 1 còn nguyên
Mẫu 2 căn x viết liền cho nhanh.
Đạo hàm của tích hai anh
Ta đạo anh trước, để dành anh sau
Rồi thêm dấu cộng cho mau
Giữ nguyên anh trước, anh sau đạo hàm.
(uv)’=u’v+uv’
Nếu thương, khó mấy cũng cam
Tử ta đạo hàm nhân mẫu giữ nguyên
Dấu trừ thì chớ có quên
Tử nguyên, mẫu đạo đi liền đằng sau
Bình phương mẫu chạy đi đâu
Ta mang xuống dưới cho mau thuộc bài.
(u/v)′=u′.v−u.v′/v2
Đạo hàm sin thật là tài
Lại ra là cos có sai bao giờ.
(sinx)’=cosx
Cos đạo hàm đẹp như mơ
Trừ sin để bạn ngẩn ngơ một mình.
(cosx)’=−sinx
Cần cù bù lại thông minh
Một chia cos bình là đạo hàm tang.
(tanx)’=1/cos2x
Có chăm học mới vẻ vang
Cô tang dẫu khó cũng mang đạo hàm
Tử trừ 1 nhớ mà làm
Mẫu sin bình nhé chớ ham chơi bời.
(cotx)′=−1/sin2x
E mũ x thật lạ đời
Đạo hàm của nó, ta thời giữ nguyên.
(ex)′=ex
Hàm số mũ ta để yên
Nêpe cơ số chạy liền theo sau.
(ax)′=ln aax
Nepe x đạo hàm mau
Bằng 1 chia x chứ đâu khó gì.
(lnx)′=1/x
Lôga x có khác chi?
Nepe cơ số ta thì chớ quên
(logax)′=1/ln a.x
3. Bài tập về đạo hàm:
Bài 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 < 1 ?
Hướng dẫn giải
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.
Bài 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x0. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 là
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Bài 3. Số gia của hàm số y= f(x )= x3 + 1 ứng với x0= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?
A. – 10 B . 7 C. – 1. D. 0
Hướng dẫn giải
Ta có ∆y= f( x0+ ∆x)-f(x0 )=( x0+ ∆x)3+1- x03-1
= 3.x02.∆x+3x0 ( ∆x)2+( ∆x)3
Với x0 =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.
Chọn B
Bài 4: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm M( -1;3)
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 3x2 + 6x
1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:
y = -3.(x + 1) + 3 = – 3x
2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21
Tương tự câu 1, phương trình là:
y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27
Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 
. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( – 4, 5) là y = 4x + 21
Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có xo = 1 ⇒ yo = – 1
y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.
Từ đó suy ra y’(1) = 3.
Vậ
Bài 7 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :y=-x4-x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .
A.y= 6x+ 1 B. y= – 6x+ 6 C.y= -6x+ 10 D. y= 6x+ 12
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D=R.
Đạo hàm của hàm số: y’= – 4x3 – 2x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 .
⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6.
Cách 1: Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (C) của hàm số .
Khi đó, ta có phương trình: y'(x0)=-6 ⇔-4x03-2x0=-6
⇔(x0-1)(2x02+2x0+3)=0(*).
Vì 2x02+2x0+3 > 0,∀x0∈R nên phương trình ( *) tương đường x0 =1
⇒ y0= y(1)= 4 nên M( 1 ; 4)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6(x-1)+4=-6x+10.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m ( **)
Do ∆ tiếp xúc (C) tại điểm M(x0 ; y0) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
Thay vào (**) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= – 6x+ 10
Chọn C.
Bài 8. Cho hàm số y=1/3 x3-x+2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.
A. ( 1; -2) và ( -2; 0) B. ( – 2; 0) và ( 2; 4/3 )
C. ( -2; 5) và ( 1;0) D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định D= R.
Ta có đạo hàm: y’=x2-1
GọiM(x0;y0)∈(C) ⇔y0=1/3 x03-x0+2/3,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0)=x02-1
Đường thẳng d: có hệ số góc k2=-1/3
