Tuyển tập những bài toán hình học lớp 9 có đáp án chi tiết

1. Bài toán về đường tròn nội tiếp với tam giác:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nộp tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.

a. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp

b. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c. AE . AC = AH. AD ; AD . BC = BE . AC

d. H và M đối xứng nhau qua BC

e. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DÈ.

Lời giải:

a. Xét tứ giác CEHD ta có:

Góc CEH = 90⁰ vì BE là đường cao

Góc CDH = 90⁰ vì AD là đường cao

Vậy suy ra: góc CEH + góc CDH = 180 ⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là từ giác nội tiếp.

2. Theo giả thiết: BE là đường cao

Suy ra: BE vuông góc với AC

Suy ra: góc BEC = 90 ⁰

CF là đường cao

Suy ra: CF vuông góc với AB

Suy ra: góc BCF = 90 ⁰

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 độ

Suy ra: E và F cùng nằm trên đường trong đường kính BC

Vậy bốn điểm B, C, E ,F cùng nằm trên một đường tròn

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:

góc AEH = góc ADC = 90 ⁰

góc A là góc chung

SUy ra: AEH  ADC

Suy ra: AE // AD = AH // AC ⇒ AE .AC = AH .AD

– XÉT hai tam giác BEC và ADC ta có:

góc BEC = góc ADC = 90 ⁰, góc C là góc chung

⇒

d. Ta có: góc C1 = góc A1 vì cùng phụ với góc ABC

góc C2 = góc A1 vì hai góc nội tiếp cùng chắc cung BM.

Suy ra: góc C1 = góc C2 ⇒ CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB vuông góc HM ⇒  CHM cân tại C

⇒ CB cũng là đường trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

e. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E ,F cùng nằm trên một đường tròn.

⇒ góc C1 = góc E1 vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

Góc C1 = góc E2 vì hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD

Góc E1 = góc E2 ⇒ EB là tia phân giác của góc FED

Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giấc của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường trong nội tiếp tam giác DEF.

2. Bài toán về đường tròn ngoại tiếp với tam giác:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.

1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh ED = 1/2 BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90⁰.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E₁ = góc A₁ (1).

Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E₃ = góc B₁ (2)

Mà góc B₁ = góc A₁ (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E₁ = góc E₃ => góc E₁ + góc E₂ = góc E₂ + góc E₃

Mà góc E₁ + góc E₂ = góc BEA = 90⁰ => góc E₂ + góc E₃ = 90⁰ = góc OED => DE ┴ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED² = OD² – OE² ↔ ED² = 5² – 3² ↔ ED = 4cm

3. Bài toán về tứ giác nội tiếp:

 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R²; OI. IM = IA².
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d

Lời giải:

1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp:

Vì $OM$ là trung trực của $AB$, ta có $OM\perp AB$, và từ điều này, ta suy ra ∠OMA=∠OMB=90∘. Do đó, tứ giác $AMBO$ là tứ giác nội tiếp.

2. Năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn:

– Vì K là trung điểm của NP, ta có OK vuông góc NP (do quan hệ đường kính và dây cung).

=> ÐOKM = 90⁰. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 90⁰; ÐOBM = 90⁰. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 90⁰ nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.

Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Chứng minh OI.OM = R²; OI. IM = IA².

Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R

=> OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .

Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 90⁰ nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA² hay OI.OM = R²; và OI. IM = IA².

4. OAHB là hình thoi:

OB vuông góc MB (do tính chất tiếp tuyến), AC vuông góc MB (do góc phụ của cùng một góc) ; AC ^MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.

=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.

5. Ba điểm O, H, M thẳng hàng:

Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^AB; cũng theo trên OM ^AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).

6. Quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d:

Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

4. Lưu ý khi làm những bài toán hình học lớp 9:

Dưới đây là một số lưu ý khi làm những bài toán hình học ở lớp 9:

– Hiểu rõ các định lý cơ bản:

Các định lý về góc, đường thẳng, tam giác, tứ giác, hình tròn, v.v.

Định lý pythagoras, định lý euclid, định lý hình học quan trọng khác.

– Biết áp dụng định lý vào bài toán:

Xác định được loại tam giác (vuông, cân, đều, thường) từ thông tin đã cho.

Sử dụng định lý hình học để giải quyết vấn đề.

– Vận dụng chất lượng đồng đều:

Nắm vững chất lượng đồng đều trong các tứ giác và tam giác.

– Sử dụng tỉ số trong tam giác:

Hiểu rõ về tỉ số đồng dạng và tỉ số lưỡng giác.

Biết sử dụng tỉ số đồng dạng để giải bài toán hình học.

– Xác định các góc đặc biệt:

Góc nhọn, góc tu, góc nhọn bù, góc tu bù.

Góc phân giác, góc nửa trái, góc nửa phải.

– Hiểu biết về hình học không gian:

Hiểu rõ các khái niệm về hình học không gian như hình hộp, hình cầu, hình trụ.

– Sử dụng hình vẽ hỗ trợ:

Vẽ một đường hình học có thể giúp làm rõ vấn đề.

Dùng bút và giấy để thử nghiệm giả định và ý tưởng của bạn.

– Tập trung vào phân tích tổng thể:

Đọc toàn bộ bài toán trước khi bắt đầu giải.

Phân tích tổng thể của bài toán để đưa ra kế hoạch giải quyết.

– Chú ý đến đơn vị đo:

Đảm bảo hiểu rõ về đơn vị đo được sử dụng trong bài toán.

– Làm các bước một cách hệ thống:

Ghi rõ các bước giải, đảm bảo bài toán được giải quyết có hệ thống và logic.

– Kiểm tra lại kết quả:

Sau khi hoàn thành bài toán, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.