Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến đoạn thẳng và góc vuông. Nó giúp chúng ta xác định các vị trí đặc biệt và quan hệ giữa các đoạn thẳng trong không gian hai chiều.
Mục lục bài viết
1. Đường trung trực là gì?
Đường trung trực là đường thẳng đặc biệt được xác định bởi hai tính chất quan trọng. Đầu tiên, đường trung trực đi qua trung điểm của đoạn thẳng, tức là điểm chính giữa của đoạn thẳng. Thứ hai, đường trung trực luôn vuông góc với đoạn thẳng mà nó trung trực. Điều này có nghĩa là góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng là một góc vuông, tức là 90 độ.
Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến đoạn thẳng và góc vuông. Nó giúp chúng ta xác định các vị trí đặc biệt và quan hệ giữa các đoạn thẳng trong không gian hai chiều.
2. Tính chất của đường trung trực:
2.1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng:
Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta chọn một điểm bất kỳ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng, thì khoảng cách từ điểm đó đến cả hai đầu mút của đoạn thẳng sẽ bằng nhau.
Định lí 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta chọn một điểm bất kỳ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng, thì khoảng cách từ điểm đó đến cả hai đầu mút của đoạn thẳng sẽ bằng nhau.
2.2. Tính chất đường trung trực của tam giác cân:
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Điều này có nghĩa là đường trung trực của tam giác cân giúp chia đôi tam giác thành hai phần bằng nhau và từ đó tạo ra các đường trực góc với cạnh đáy. Đồng thời, đường trung trực cũng là đường phân giác của tam giác cân, tức là nó chia đôi góc đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau.
2.3. Tính chất đường trung trực của tam giác vuông:
Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Ví dụ, trong tam giác ABC vuông tại B, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC. Điều này có nghĩa là đường trung trực của tam giác vuông không chỉ giúp chia đôi cạnh huyền, mà còn tạo ra các đường trực góc với các cạnh khác của tam giác. Đây là một tính chất quan trọng của tam giác vuông, và nó có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác.
3. Các dạng bài toán thường gặp liên quan đến đường trung trực:
Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Để có thể chứng minh rằng đường d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta có thể thực hiện một số bước sau đây. Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng cả hai điểm A và B đều nằm trên đường d. Sau đó, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa về tính chất đường trung trực để xác định rằng đường d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điều này có nghĩa là đường d sẽ cắt đoạn thẳng AB ở trung điểm của nó.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Để chứng minh rằng hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau, chúng ta có thể sử dụng định lý sổ 1 để tìm ra cách chứng minh nhanh nhất. Định lý sổ 1 cho phép chúng ta khẳng định rằng nếu hai đoạn thẳng có cùng độ dài và cùng hướng, thì chúng bằng nhau. Do đó, để chứng minh rằng AB = CD, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng AB và CD có cùng độ dài và cùng hướng.
Định lý 3: Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lý 3 cho biết rằng nếu một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, thì nó cách đều hai đầu của đoạn thẳng đó. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đầu của đoạn thẳng là như nhau. Chúng ta có thể sử dụng định lý này để giải quyết các bài toán liên quan đến tính chất đường trung trực.
Dạng 3: Bài tập về tính giá trị nhỏ nhất
Trong bài tập này, chúng ta áp dụng tính chất đường trung trực để có thể thay đổi độ dài của một đoạn thẳng thành một con số chiều dài của một đoạn thẳng khác bằng nó. Sau đó, chúng ta sử dụng bất đẳng thức của tam giác để tìm được giá trị nhỏ nhất. Bằng cách này, chúng ta có thể xác định giá trị nhỏ nhất mà đoạn thẳng đó có thể đạt được. Điều này rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa.
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, chúng ta có thể sử dụng định lý sổ 4 để tìm ra cách chứng minh nhanh nhất. Định lý sổ 4 cho biết rằng nếu ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm, thì điểm đó sẽ cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Điều này đồng nghĩa với việc tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm nằm trên các đường trung trực và cách đều ba đỉnh của tam giác.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác cân
Trong bài toán này, chúng ta cần chú ý rằng trong một tam giác cân, đường trung trực cũng chính là đường trung tuyến và đường phân giác ứng với cạnh đáy. Bằng cách sử dụng tính chất này, chúng ta có thể giải quyết các bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác cân. Điều này rất hữu ích trong việc tìm hiểu và áp dụng kiến thức về tam giác cân.
Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta kẻ đường trung trực từ các đỉnh của tam giác vuông, thì điểm giao của chúng sẽ nằm ở giữa đoạn thẳng cạnh huyền. Bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác vuông là một trong những bài toán quan trọng trong hình học tam giác.
4. Những bài tập về đường trung trực:
Câu 1: Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Ba đường trung trực của tam giác giao nhau tại một điểm. Điểm nà cách đều … của tam giác đó”
A. Hai cạnh
B. Ba cạnh
C. Ba đỉnh
D. Cả A, B đều đúng
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3: Cho tam giác ABC có một đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4: Cho góc nhọn Trắc nghiệm Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, trên tia Ox lấy điểm A; trên tia Oy lấy B sao cho OA = OB. Đường trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I. Khi đó:
A. OI là tia phân giác Trắc nghiệm Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
B. OI là đường trung trực của đoạn AB
C. Cả A, B đều đúng
D. Cả A, B đều sai
Đáp án cần chọn là: C
Câu 5: Cho ΔABC, hai đường cao BC và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hayc chọn câu sai:
A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6: Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC tại O. Chọn câu đúng
A. AO là đường trung tuyến của tam giác ABC
B. AO là đường trung tực của tam giác ABC
C. AO ⊥ BC
D. AO là tia phân giác của góc A
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho K = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ AC). Chọn câu đúng
A. ΔAHD = ΔAKD
B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK
C. AD là tia phân giác của góc HAK
D. Cả A, B, C đều đúng
Đáp án cần chọn là: D
Câu 8: Cho tam giác ABC có Â là góc tù. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ EP ⊥ BO (P ∈ BC). Từ P kẻ PF ⊥ OC (F ∈ AC). Chọn câu đúng:
A. OB là đường trung trực của đoạn EP
B. OC là đường trung trực của đoạn PF
C. Cả A,B đều đúng
D. Cả A,B đều sai
Đáp án cần chọn là: C
Câu 9: Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ΔABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
D. Đáp án B và C đúng
Đáp án cần chọn là: D
