Tam giác vuông cân là gì? Tính chất tam giác vuông cân?

1. Tam giác vuông cân là gì? 

Tam giác cân là một trong những dạng tam giác cơ bản, và việc hiểu rõ tính chất của nó có thể giúp ta áp dụng trong nhiều bài toán hình học và toán học khác nhau.

Với định nghĩa cơ bản, tam giác cân có hai cạnh bằng nhau và hai góc tại hai đỉnh này cũng bằng nhau. Điều này tạo nên sự đối xứng, khi có trục đối xứng là đường phân chia tam giác thành hai phần đối xứng nhau. Đỉnh giữa hai cạnh bằng nhau trong tam giác cân được gọi là đỉnh cân, trong khi hai cạnh đó được gọi là cạnh cân.

Điểm quan trọng cần nhớ là không nhất thiết tam giác cân phải có ba góc bằng nhau như tam giác đều. Điều quyết định tính cân của tam giác chính là hai góc ở đỉnh cân bằng nhau. Điều này tạo ra một loạt các tính chất riêng biệt cho tam giác cân, mà ta có thể áp dụng để giải quyết các vấn đề trong hình học và toán học.

Ví dụ, một trong những tính chất đặc trưng của tam giác cân là trục đối xứng qua đỉnh cân. Điều này có thể giúp chúng ta giải các vấn đề về đối xứng, tìm vị trí đối xứng của các điểm trong tam giác. Qua việc hiểu rõ về tính chất của tam giác cân, ta có thể khám phá và áp dụng nhiều kiến thức hơn trong giải các bài toán phức tạp.

Tam giác vuông cân không chỉ có đặc điểm đặc trưng về góc vuông và cạnh cân mà còn gây ấn tượng với một số tính chất hình học quan trọng khác. Một điểm thú vị của nó là khả năng chia tam giác thành hai tam giác nhỏer có cạnh cân bằng với cạnh cân của tam giác ban đầu.

Điểm giao nhau của các đường phân giác trong tam giác vuông cân cũng là trung điểm của cạnh vuông. Điều này không chỉ phản ánh tính chất đối xứng mà còn liên quan đến việc xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, điều này có thể được minh họa rõ ràng trong hình vẽ học thuật.

Ví dụ, khi ta áp dụng kiến thức này vào thực tế, trong lĩnh vực kiến trúc, các kỹ sư thường sử dụng tính chất của tam giác vuông cân để tạo nên các cấu trúc ổn định và cân đối. Điều này có thể thấy rõ trong việc xây dựng các tòa nhà, cầu, hoặc các công trình kiến trúc khác, nơi tam giác vuông cân đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế và xác định tính ổn định của cấu trúc.

Điểm đặc biệt của tam giác này không chỉ nằm ở tính chất hình học trên giấy mà còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, từ xây dựng đến thiết kế, đem lại những lợi ích rõ ràng và thiết thực.

2. Tính chất tam giác vuông cân?

Tam giác vuông cân không chỉ có hai cạnh đáy bằng nhau mà còn có nhiều đặc điểm hình học khác đầy thú vị. Ví dụ, hai góc nằm ở hai đỉnh chân của tam giác có độ lớn chính xác là 45 độ (π/4 radian) mỗi góc, tạo nên sự cân đối và đẹp mắt cho hình dáng của nó.

Tính chất giao nhau của đường cao và đường phân giác từ đỉnh góc vuông tạo ra một điểm duy nhất, là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Điều này không chỉ minh chứng cho tính chất đối xứng mà còn liên quan mật thiết đến việc xác định tâm của hình tròn nội tiếp tam giác.

Đặc biệt, tam giác vuông cân còn có tính chất đặc biệt về đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông. Đường này trùng với đoạn thẳng nối giữa trung điểm cạnh huyền và đỉnh góc vuông, tạo ra một điểm trên cạnh đối diện đỉnh góc vuông và cũng là tâm của tam giác.

Một điểm đáng chú ý khác là độ dài của đường cao và đường phân giác, tính từ đỉnh góc vuông, đều bằng một nửa chiều dài cạnh huyền. Điều này thể hiện mối quan hệ đặc biệt giữa các phần tử trong tam giác vuông cân, tạo ra sự cân đối và liên kết hài hòa giữa chúng.

3. Bài tập về tam giác vuông cân:

Bài 1:

a, Gọi tam giác ABC là tam giác vuông, tức là góc BAC=90 độ

Để Tam giác ABC trở thành tam giác vuông cân tại A thì hai cạnh góc vuông AB = AC

b, Gọi Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là ta có AB = AC

Để Tam giác ABC trở thành tam giác vuông cân tại A thì góc BAC=90 độ

Bài 2:

Bài 3:

Xét tam giác ABC cân tại A, có   góc ABC = góc ACB và AB = AC

Có D là trung điểm của AB thì AD = BD

Có E là trung điểm của AC thì AE = EC

Từ đó ta có AD = BD = AE = EC

Xét tam giác BDC và tam giác CEB có:

BD = CE (cmt)

góc ABC = góc ACB (cmt)

BC chung

Hai tam giác BDC và tam giác CEB bằng nhau (theo trường hợp c – g – c)

BE = CD (cặp cạnh tương ứng)

Bài 4:

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

góc ABC = góc ACB (do tam giác ABC cân tại A)

BD = EC (giả thiết)

(cặp cạnh tương ứng)

Xét tam gác ADE có AD = AE (cmt). Suy ra tam giác ADE là tam giác cân tại A

Bài 5: Học sinh tự vẽ hình

a, Xét tam giác ABC có: (tổng ba góc trong một tam giác)

Tam giác ADE cân tại A

Bài 6: Học sinh tự vẽ hình

a, Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và góc B= góc C

Vì BE là tia phân giác của góc B nên goc ABE=góc ABC

Và CD là tia phân giác của góc C nên  góc ACD=DCB

Và  góc B=Cnên  góc ABE=ACD

Xét tam giác BEA và tam giác CDA có:

Góc A chung

AB = AC (gt)

 Góc ABE=ACD

Suy ra tam giác BEA bằng với tam giác CDA (theo trường hợp g-c-g)

Suy ra BE = CD và AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

b, Có

Xét tam giác AID và tam giác AIE có:

AI chung

Suy ra tam giác AID bằng tam giác AIE (theo trường hợp c-g-c)

Suy ra hai tam giác AMB và AMC là hai tam giác vuông cân

Bài 7: Cho tam giác vuông cân ABC tại A, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D

a, Chứng minh rằng BE = CD, AD = AE

b, Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng các tam giác MAB và MAC là tam giác vuông cân

Lời giải

a, Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và B^∧ = C^∧

Vì BE là tia phân giác của góc B nên góc ABE = góc EBC

Và CD là tia phân giác của góc C nên góc ACD = góc DCB

Và B^∧ = C^∧ nên góc ABE = góc ACD

Xét tam giác BEA và tam giác CDA có:

A^∧ chung

AB = AC (gt)

góc ABE = góc ACD

Suy ra tam giác BEA bằng với tam giác CDA (theo trường hợp g-c-g)

Suy ra BE = CD và AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

b, Có Δ BEA = Δ CDE ⇒ góc AEB = góc ADC

Xét tam giác AID và tam giác AIE có:

góc AEB = góc ADC

AD = AE

AI chung

Suy ra tam giác AID bằng tam giác AIE (theo trường hợp c-g-c)

Suy ra góc AMB = góc  AMC(hai góc tương ứng)

Lại có AMB^∧ + AMC^∧ = 180⁰ ⇒ góc AMB = 90⁰

Suy ra hai tam giác AMB và AMC là hai tam giác vuông cân

Bài 8: Tính số đo mỗi góc nhọn của một tam giác vuông cân

Lời giải

Giả sử ΔABC vuông cân tại A

∠A + ∠B + ∠C = 180^o

Và ∠A = 90o; ∠B = ∠C

⇒ 2. ∠B = 180^o – 90^o = 90^o

⇒∠B = ∠C = 90^o:2 = 45^o

Bài 9: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông và cạnh đối diện góc vuông bằng nhau.

Lời giải:

Để chứng minh rằng cạnh góc vuông và cạnh đối diện góc vuông trong tam giác vuông cân bằng nhau, ta có thể sử dụng định nghĩa của tam giác vuông cân. Đây là bước chứng minh:

Gọi tam giác vuông cân là ABC, với góc vuông tại A và cạnh góc vuông BC.

Theo định nghĩa, tam giác vuông cân có hai cạnh AB và AC bằng nhau.

Vì vậy, ta có AB = AC.

Điều này chứng minh rằng trong tam giác vuông cân, cạnh góc vuông và cạnh đối diện góc vuông là bằng nhau.