Các dạng Toán thi vào 10 giúp các em học sinh làm quen với các dạng bài hay gặp trong đề thi, thử sức với các câu hỏi khó giành điểm 9 – 10 và có chiến lược thời gian làm bài thi phù hợp nhất.
Mục lục bài viết
1. Rút gọn căn thức:
Để rút gọn căn thức, ta cần áp dụng các quy tắc sau:
– Nếu một căn thức có số mũ là n, ta có thể viết lại nó dưới dạng căn bậc n.
– Nếu một căn thức có số hạng là tích hoặc thương của hai số, ta có thể viết lại nó dưới dạng tích hoặc thương của hai căn thức.
– Nếu một căn thức có số hạng là một số mũ, ta có thể đưa số mũ ra ngoài căn.
– Nếu một căn thức có số hạng là một số âm, ta có thể đưa số âm ra ngoài căn và đổi dấu.
Sau đây là một số bước hướng dẫn chi tiết để rút gọn căn thức:
– Bước 1: Phân tích thừa số của số hạng bên trong dấu căn thành các thừa số nguyên tố.
– Bước 2: Nhóm các thừa số giống nhau thành các cặp và đưa ra ngoài dấu căn.
– Bước 3: Rút gọn các phân số bên trong và bên ngoài dấu căn nếu có.
– Bước 4: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia căn thức để rút gọn thêm nếu có thể.
* Bài tập
2. Giải hệ phương trình:
* Giải phương trình bằng phương pháp thế. (giả sử hệ có ẩn x và y ):
– Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia
– Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá trị của y.
– Thế giá trị của y vào biểu thức của x ta tìm được giá trị của x.
* Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x và y ):
– Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
– Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.
– Giải hệ phương trình vừa thu được
Chú ý: Nếu hệ phương trình có một ẩn mà hệ số bằng 1 thì nên giải hệ này theo phương pháp thế.
* Lưu ý:
Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ về một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình.
* Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp giải
– Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần).
– Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
– Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ)
* Bài tập:
a.
– Giải theo phương pháp thế:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).
– Giải theo phương pháp cộng đại số
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1).
b) – Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Điều kiện 
Đặt 
Hệ phương trình đã cho tương đương với 
Ta có:
Thay 
vào (*) ta có 
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
.
3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Để giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta cần thực hiện các bước sau:
– Bước 1: Đọc kỹ đề bài và xác định các biến số cần tìm.
– Bước 2: Viết các phương trình liên quan đến các biến số, dựa vào các điều kiện cho trong đề bài.
– Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của các biến số.
– Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và viết lời giải chi tiết.
* Bài tập
– Bài 1: Một người mua 12 quyển sách với tổng số tiền là 420.000 đồng. Biết rằng giá mỗi quyển sách bìa mềm là 30.000 đồng và giá mỗi quyển sách bìa cứng là 40.000 đồng. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu quyển sách bìa mềm và bao nhiêu quyển sách bìa cứng?
Lời giải:
Gọi x là số quyển sách bìa mềm và y là số quyển sách bìa cứng.
Ta có hai điều kiện sau:
+ Tổng số quyển sách là 12: x + y = 12
+ Tổng số tiền là 420.000 đồng: 30.000x + 40.000y = 420.000
Ta được hệ phương trình:
x + y = 12
30.000x + 40.000y = 420.000
Để giải hệ này, ta có thể dùng phương pháp cộng trừ hai vế của hai phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -30.000, ta được:
-30.000x – 30.000y = -360.000
Cộng hai vế của phương trình này với hai vế của phương trình thứ hai, ta được:
10.000y = 60.000
Vậy y = 6.
Thay y = 6 vào phương trình thứ nhất, ta được:
x + 6 = 12
Vậy x = 6.
Kết luận: Người đó đã mua 6 quyển sách bìa mềm và 6 quyển sách bìa cứng.
– Bài 2: Một người mua 5 quyển sách và 3 quyển vở với tổng số tiền là 200.000 đồng. Biết rằng giá một quyển sách gấp đôi giá một quyển vở. Hỏi giá một quyển sách và một quyển vở là bao nhiêu?
Lời giải:
– Bước 1: Gọi x là giá một quyển sách (đơn vị: nghìn đồng), y là giá một quyển vở (đơn vị: nghìn đồng).
– Bước 2: Ta có hai phương trình:
+ Phương trình thứ nhất: 5x + 3y = 200 (tổng số tiền)
+ Phương trình thứ hai: x = 2y (giá sách gấp đôi giá vở)
– Bước 3: Thay x = 2y vào phương trình thứ nhất, ta được:
5(2y) + 3y = 200
→ 13y = 200
→ y = 200/13
Do đó, x = 2y = 400/13
– Bước 4: Kiểm tra lại kết quả:
5x + 3y = (5 x 400/13) + (3 x 200/13) = (2000 + 600)/13 = 200
x = 2y = (400/13) / (200/13) = 2
Kết quả đúng.
– Kết luận
Giá một quyển sách là 400/13 nghìn đồng, tương đương với khoảng 30.769 đồng.
Giá một quyển vở là 200/13 nghìn đồng, tương đương với khoảng 15.385 đồng.
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai:
– Để giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, ta cần tìm ra các biến số và các hệ số liên quan đến bài toán.
– Sau đó, ta viết phương trình bậc hai theo dạng ax^2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các hệ số đã biết, x là biến số cần tìm.
– Tiếp theo, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tính x.
– Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta kiểm tra xem nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
– Nếu phương trình có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, ta kết luận rằng bài toán vô lý hoặc vô nghiệm.
Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 15 và tích của chúng là 56.
Giải:
Ta gọi hai số cần tìm là x và y. Ta có hệ phương trình:
x + y = 15
xy = 56
Ta chọn một trong hai phương trình để biểu diễn y qua x. Ví dụ, ta chọn phương trình đầu tiên:
y = 15 – x
Ta thay y vào phương trình thứ hai để được một phương trình bậc hai về x:
x(15 – x) = 56
15x – x^2 = 56
x^2 – 15x + 56 = 0
Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac))/(2a)
Trong đó, a = 1, b = -15, c = 56. Ta được:
x = (15 ± √(225 – 224))/2
x = (15 ± √1)/2
x = (15 ± 1)/2
Vậy, x có hai giá trị là 8 và 7. Từ đó, ta tìm được y tương ứng là 7 và 8. Kiểm tra lại xem các cặp nghiệm (8,7) và (7,8) có thỏa mãn hệ phương trình ban đầu hay không. Ta thấy rằng cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn. Vậy, đáp án của bài toán là hai số cần tìm là 8 và 7.
Bài 2:
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình bậc hai: Tìm hai số biết tổng của chúng là 9 và hiệu của bình phương chúng là 45.
Giải:
Ta gọi hai số đó là x và y. Ta có hai điều kiện là:
x + y = 9
x^2 – y^2 = 45
Biến đổi điều kiện thứ nhất thành:
y = 9 – x
Thay vào điều kiện thứ hai, ta được:
x^2 – (9 – x)^2 = 45
Ta mở ngoặc và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:
x^2 – 81 + 18x – x^2 = 45
Rút gọn và chuyển vế, ta được:
18x – 126 = 0
Chia cho 18 cho cả hai vế, ta được:
x – 7 = 0
Tìm được x = 7. Thay vào biểu thức của y:
y = 9 – 7 = 2
Vậy hai số cần tìm là 7 và 2.
5. Hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a và b là các hằng số. Hàm số bậc nhất có đồ thị là một đường thẳng không song song với trục tung. Hàm số bậc nhất có các đặc điểm sau:
– Hệ số góc của đường thẳng là a, tức là góc tạo bởi đường thẳng và trục hoành có tan bằng a.
– Điểm cắt trục tung của đường thẳng là (0, b), tức là khi x = 0 thì y = b.
– Điểm cắt trục hoành của đường thẳng là (-b/a, 0), tức là khi y = 0 thì x = -b/a.
– Hàm số bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn miền xác định. Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến, nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến.
– Hàm số bậc nhất có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi x tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng. Nếu a > 0 thì hàm số có giá trị lớn nhất khi x tiến tới vô cùng và giá trị nhỏ nhất khi x tiến tới âm vô cùng. Nếu a < 0 thì hàm số có giá trị lớn nhất khi x tiến tới âm vô cùng và giá trị nhỏ nhất khi x tiến tới vô cùng.
* Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y = 2x – 3. Hãy xác định:
a) Hệ số góc và độ lệch trục tung của đồ thị hàm số.
b) Tính chất biến thiên của hàm số.
c) Điểm cắt trục tung và trục hoành của đồ thị hàm số.
Lời giải:
a) Ta có a = 2 và b = -3. Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số là 2 và độ lệch trục tung là -3.
b) Vì a > 0, nên hàm số đồng biến trên R.
c) Điểm cắt trục tung của đồ thị hàm số là (0, -3). Để tìm điểm cắt trục hoành, ta giải phương trình 2x – 3 = 0, được x = 3/2. Vậy điểm cắt trục hoành của đồ thị hàm số là (3/2, 0).
Bài 2: Cho hàm số y = 2x – 3. Tính giá trị của y khi x = 1 và x = -2.
Lời giải:
– Khi x = 1, ta có y = 2x – 3 = 2.1 – 3 = -1.
– Khi x = -2, ta có y = 2x – 3 = 2.(-2) – 3 = -7.
Bài 3: Cho hàm số y = -x + 5. Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải:
– Tập xác định của hàm số là R.
– Tập giá trị của hàm số là R.
– Để vẽ đồ thị của hàm số, ta cần tìm hai điểm thuộc đồ thị. Ta có:
+ Khi x = 0, ta có y = -x + 5 = -0 + 5 = 5. Vậy điểm A(0, 5) thuộc đồ thị.
+ Khi y = 0, ta có y = -x + 5 => x = 5. Vậy điểm B(5, 0) thuộc đồ thị.
Ta nối hai điểm A và B bằng một đường thẳng để được đồ thị của hàm số.
6. Hàm số bậc hai:
Hàm số bậc hai là một hàm số có dạng y = ax^2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a khác 0. Hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có trục đối xứng là đường thẳng song song với trục tung. Để giải các bài tập về hàm số bậc hai, ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như: đỉnh của parabol, tập xác định, tập ảnh, khoảng biến thiên, điểm cực trị, phương trình tiếp tuyến và phương trình tiếp xúc. Sau đây là ba bài tập về hàm số bậc hai và lời giải chi tiết:
* Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y = x^2 – 4x + 3. Tìm đỉnh của parabol, tập xác định, tập ảnh và khoảng biến thiên của hàm số.
Lời giải:
– Để tìm đỉnh của parabol, ta sử dụng công thức: x0 = -b/2a và y0 = f(x0). Thay các giá trị a = 1, b = -4 vào công thức, ta được: x0 = -(-4)/2.1 = 2 và y0 = f(2) = 2^2 – 4.2 + 3 = -1. Vậy đỉnh của parabol là A(2; -1).
– Tập xác định của hàm số là R (tập hợp các số thực), vì ta có thể thay bất kỳ giá trị nào cho x để tính được y.
– Tập ảnh của hàm số là [-1; +∞), vì parabol có đỉnh là A(2; -1) và mở ra trên (a > 0), nên nhận các giá trị từ -1 trở lên.
– Khoảng biến thiên của hàm số là: hàm số giảm trên (-∞; 2] và tăng trên [2; +∞), vì parabol có điểm cực tiểu là A(2; -1).
Bài 2: Cho hàm số y = -x^2 + 6x – 8. Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M(1; -3).
Lời giải:
– Để tìm phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M(1; -3), ta cần tìm được đạo hàm của hàm số tại x = 1. Ta có: y’ = -2x + 6. Thay x = 1 vào, ta được: y'(1) = -2.1 + 6 = 4. Đây chính là hệ số góc của tiếp tuyến.
– Phương trình tiếp tuyến có dạng: y – y0 = k(x – x0), trong đó k là hệ số góc, (x0; y0) là điểm thuộc tiếp tuyến. Thay các giá trị k = 4, (x0; y0) = (1; -3) vào, ta được: y – (-3) = 4(x – 1). Đơn giản hóa, ta được: y = 4x – 7. Đây chính là phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số y = x^2 + mx + n. Biết rằng parabol của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(2; 0). Tìm m và n.
Lời giải:
– Để parabol tiếp xúc với trục hoành tại B(2; 0), ta cần có hai điều kiện: f(2) = 0 và f'(2) = 0. Ta có: f(x) = x^2 + mx + n và f'(x) = 2x + m.
– Thay x = 2 vào f(x), ta được: f(2) = 2^2 + 2m + n = 4 + 2m + n. Đặt bằng 0, ta được: 4 + 2m + n = 0 (1).
– Thay x = 2 vào f'(x), ta được: f'(2) = 2.2 + m = 4 + m. Đặt bằng 0, ta được: 4 + m = 0. Từ đó, suy ra: m = -4.
– Thay m = -4 vào (1), ta được: 4 – 8 + n = 0. Từ đó, suy ra: n = 4.
– Vậy m = -4 và n = 4.
