Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m là một dạng toán vô cùng quan trọng với môn Toán lớp 9. Bài viết này sẽ đưa ra kiến thức để chúng ta nắm bắt được cách giải cũng như bài tập để luyện, mời mọi người cùng tham khảo!
Mục lục bài viết
1. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình ax2 + bc + c = 0, trong đó a không bằng 0, chúng ta có thể thực hiện một số phân tích chi tiết để hiểu rõ hơn về tính chất của phương trình. Cụ thể hơn, chúng ta có thể tìm hiểu về cấu trúc của nghiệm, ảnh hưởng của các hệ số a, b, c đến nghiệm và cách nghiệm biến đổi khi thay đổi các hệ số này.
Ta có: 
– Hãy giả sử rằng x1 và x2 là hai số phức phân biệt, đều có dạng x1 = d + ki và x2 = d – ki, trong đó d và k là hai số thực tương ứng với phần thực và phần ảo của số phức, còn i là đơn vị ảo. Để tìm giá trị của x1 và x2, chúng ta cần đặt chúng vào phương trình ban đầu và thay thế x1 và x2 bằng d + ki và d – ki. Điều này cho ta hai phương trình, a(d + ki)2 + b(d + ki) + c = 0 và a(d – ki)2 + b(d – ki) + c = 0.
– Chúng ta cần giải quyết phương trình này theo từng phần. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình đối với các thành phần thực, nghĩa là phần không chứa i. Điều này dẫn đến hệ phương trình: ad2 + bd + c = 0 và ad2 – bd + c = 0, đây là hai phương trình có dạng bậc hai.
– Bằng cách giải hai phương trình trên, ta có thể tìm ra giá trị của d. Giả sử d1 và d2 là hai nghiệm thực của hệ phương trình trên. Chúng là giá trị mà chúng ta cần tìm để tìm ra x1 và x2, hai số phức phân biệt trong phương trình ban đầu.
– Sau khi xem xét phương trình ban đầu, chúng ta sẽ tập trung vào thành phần ảo. Việc này bao gồm việc thay thế các giá trị d1 và d2 vào phương trình dành cho thành phần ảo. Khi thực hiện thao tác này, chúng ta sẽ có khả năng xác định giá trị của k.
– Tiếp theo, khi kết hợp thông tin mà chúng ta đã thu được về d1, d2 và k, chúng ta sẽ có thể xác định được hai nghiệm phức x1 và x2 cho phương trình ban đầu. Đây là một công việc quan trọng vì nó cho phép chúng ta giải quyết phương trình hoàn toàn.
– Cuối cùng, khi chúng ta tiếp tục giải phương trình ax2 + bc + c = 0, chúng ta cần chú ý đến cả phần thực và phần ảo của nghiệm. Bằng cách áp dụng các phép toán phức hợp, chúng ta có thể tìm ra cặp nghiệm phức x1 và x2. Việc phân tích cẩn thận và chi tiết như vậy giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của phương trình bậc hai và cách chúng ta giải quyết nó khi đối mặt với các hệ số phức.
*Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1: Xác định các điều kiện cần thiết mà phương trình đã cho phải thỏa mãn để có được hai nghiệm, cụ thể là x1 và x2.
Bước 2: Tiếp theo, chúng ta sử dụng hệ thức Vi ét để tìm một số quan hệ giữa hai nghiệm x1 và x2. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng công thức x1 + x2 = -b/a và x1x2 = c/a, hai công thức quan trọng này cho phép chúng ta xác định nghiệm của phương trình dựa trên hệ số của nó.
Bước 3: Cuối cùng, chúng ta cần đồng nhất các phương trình và quan hệ đã tìm được từ bước 2, để thu được một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2.
Bước 4: Chúng ta sẽ tiến hành áp dụng hệ thức liên hệ đã được tìm ra từ bước 3 vào phương trình ban đầu. Mục đích của việc này là để tìm ra giá trị của các hệ số và tham số bên trong phương trình.
Bước 5: Kiểm tra điều kiện của phương trình cũng như các giá trị mà chúng ta đã tìm được. Việc này rất quan trọng để đảm bảo rằng x1 và x2 mà chúng ta đã tìm ra thực sự là hai nghiệm của phương trình ban đầu.
Bằng cách thực hiện các bước trên một cách cẩn thận và chi tiết, ta có thể tiếp cận và giải quyết bài toán một cách hiệu quả, tìm ra giá trị của x1 và x2 dựa trên phương trình đã cho. Quá trình này không chỉ giúp chúng ta tìm ra giải pháp cho bài toán, mà còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về quan hệ và tính chất của hai nghiệm trong phương trình, từ đó nắm bắt được cấu trúc và ý nghĩa của phương trình.
2. Bài tập ví dụ về tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
Bài 1: Cho phương trình y^2 – 2(m – 1)y + m – 3 = 0
a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt y1, y2
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa y1, y2 không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn:
+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt y1, y2 là: ∆’ > 0
Lời giải:
a, y^2 – 2(m – 1)y + m – 3 = 0
∆’ = b’^2 – ac
= (m – 1)^2 – (m – 3)
= m^2 – 3m + 4
= (m-3/2)^2 + 7/4 > 0 với mọi m
Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt y1, y2
b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
Xét (1) ta có:
m – 1 = y1 +y2 / 2
⇔ m = (y1 + y2 / 2 ) + 1 (3)
Xét (2) ta có: m = y1y2 + 3 (4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm y1; y2 không phụ thuộc vào m:
y1 + y2 / 2 = y1y2 + 3
⇔ y1 + y2 + 1 = 2y1y2 + 6
⇔ y1 + y2 – 2y1y2 – 5 = 0
3. Bài tập tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m (tự luyện):
Bài 1: Xét phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0, trong đó m đóng vai trò như một tham số:
a, Chứng minh rằng phương trình trên đều luôn có hai nghiệm phân biệt cho tất cả các giá trị của m ngoại trừ m = 1.
b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình. Hệ thức này không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 2: Xét phương trình y2 – 2(m – 1)y – m – 3 = 0, với m là tham số. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, y1 và y2. Tìm ra hệ thức liên hệ giữa y1 và y2, không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài 3: Xét phương trình đặc biệt có dạng (m – 1)2 – 2(m – 4)y + m – 5 = 0, trong đó m là một tham số cần xác định.
a, Tìm giá trị của m sao cho phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là y1 và y2.
b, Tìm ra hệ thức liên kết giữa hai nghiệm y1 và y2 của phương trình mà không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 4: Xét phương trình bậc hai có dạng y^2 + 2(m + 1)y + 2m = 0, trong đó m là một tham số không xác định. Xác định hệ thức này liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho, không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 5: Xét 2y^2 + (2m – 1)y + m – 1 = 0 (m là tham số). trong đó m là một tham số không xác định. Xác định hệ thức này liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho, không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 6: Cho (m + 2)y^2 – (m + 4)y + 2 – m = 0 , trong đó m là một tham số không xác định. Xác định hệ thức này liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho, không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 7 : Xét phương trình bậc hai y^2 – 2(2m + 1)y + 3 – 4m = 0 với m là tham số. Trong trường hợp phương trình này có nghiệm, hãy tìm ra hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
Bài 8: Xét phương trình bậc hai: y^2 – 2(m + 4)y + m2 – 8 = 0 (đặt là phương trình (1) với m là một tham số không xác định.
a, Hãy tìm giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu là y1 và y2.
b, Tìm ra hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt y1 và y2 của phương trình (1). Hệ thức này không được phụ thuộc vào giá trị của m.
