Phân phối nhị thức là một phân phối xác suất tóm tắt khả năng một giá trị sẽ nhận một trong hai giá trị độc lập trong một tập hợp các tham số hoặc giả định nhất định. Ví dụ về phân phối nhị thức?
Một phân phối nhị thức có thể được coi như chỉ đơn giản là xác suất của một thành công hoặc kết quả thất bại trong một thí nghiệm hoặc khảo sát được lặp đi lặp lại nhiều lần. Nhị thức là một loại phân phối có hai kết quả có thể xảy ra (tiền tố “ bi ” có nghĩa là hai hoặc hai lần). Vậy phân phối nhị thức là gì và có những đặc điểm lưu ý gì?
Mục lục bài viết
1. Phân phối nhị thức là gì?
Phân phối nhị thức ( Binomial distribution) là một phân phối xác suất tóm tắt khả năng một giá trị sẽ nhận một trong hai giá trị độc lập trong một tập hợp các tham số hoặc giả định nhất định. Các giả định cơ bản của phân phối nhị thức là chỉ có một kết quả cho mỗi thử nghiệm, rằng mỗi thử nghiệm có xác suất thành công như nhau và mỗi thử nghiệm là loại trừ lẫn nhau hoặc độc lập với nhau.
– Sự phân bố nhị thức thường được sử dụng để mô hình hóa số lần thành công trong một mẫu kích thước n rút ra với sự thay thế từ một dân số kích thước N . Nếu việc lấy mẫu được thực hiện mà không có sự thay thế, các lần rút sẽ không độc lập và do đó, phân phối kết quả là phân phối siêu đại , không phải là phân phối nhị thức. Tuy nhiên, đối với N lớn hơn n rất nhiều , phân phối nhị thức vẫn là một xấp xỉ tốt và được sử dụng rộng rãi.
– Phân phối nhị thức là phân phối rời rạc phổ biến được sử dụng trong thống kê, trái ngược với phân phối liên tục, chẳng hạn như phân phối chuẩn. Phân phối nhị thức là phân phối rời rạc phổ biến được sử dụng trong thống kê, trái ngược với phân phối liên tục, chẳng hạn như phân phối chuẩn . Điều này là do phân phối nhị thức chỉ tính hai trạng thái, thường được biểu diễn là 1 (thành công) hoặc 0 (thất bại) cho một số lần thử trong dữ liệu. Do đó, phân phối nhị thức biểu thị xác suất thành công của x trong n lần thử, với xác suất thành công p cho mỗi lần thử.
– Giá trị kỳ vọng, hoặc giá trị trung bình, của một phân phối nhị thức, được tính bằng cách nhân số lần thử nghiệm (n) với xác suất thành công (p) hoặc nx p. Ví dụ: giá trị kỳ vọng của số đầu trong 100 thử nghiệm về đầu và truyện là 50 hoặc (100 * 0,5). Một ví dụ phổ biến khác về phân phối nhị thức là ước tính cơ hội thành công của một vận động viên ném phạt trong bóng rổ trong đó 1 = ném rổ và 0 = ném trượt.
Công thức phân phối nhị thức được tính như sau:
P (x: n, p) = n C x xp x (1-p) nx
– Trong đó:
+ n là số lần thử nghiệm (lần xuất hiện)
+ X là số lần thử thành công
+ p là xác suất thành công trong một lần thử
+ nCx là hợp của n và x. Tổ hợp là số cách chọn một mẫu gồm x phần tử từ tập hợp n đối tượng riêng biệt mà thứ tự không quan trọng và không được phép thay thế. Lưu ý rằng nCx = n! / (R! (N − r)!), Ở đâu! là giai thừa (vì vậy, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)
– Giá trị trung bình của phân phối nhị thức là np và phương sai của phân phối nhị thức là np (1 – p). Khi p = 0,5, phân phối là đối xứng xung quanh giá trị trung bình. Khi p> 0,5, phân bố lệch sang trái. Khi p <0,5, phân phối bị lệch sang phải.
– Phân phối nhị thức là tổng của một loạt nhiều phép thử Bernoulli độc lập và phân phối giống nhau. Trong một thử nghiệm ở Bernoulli, thử nghiệm được cho là ngẫu nhiên và chỉ có thể có hai kết quả có thể xảy ra: thành công hoặc thất bại. Phân phối nhị thức có liên quan chặt chẽ với phân phối Bernoulli . Theo Đại học Bang Washington, “Nếu mỗi thử nghiệm Bernoulli là độc lập, thì số lần thành công trong các đường mòn Bernoulli có một Phân phối nhị thức. Mặt khác, phân phối Bernoulli là phân phối Nhị thức với n = 1. ”
– Một phân phối Bernoulli là một tập hợp các thử nghiệm Bernoulli. Mỗi thử nghiệm Bernoulli có một kết quả có thể xảy ra, được chọn từ S, thành công hoặc F, thất bại. Trong mỗi thử nghiệm, xác suất thành công, P (S) = p, là như nhau. Xác suất thất bại chỉ là 1 trừ đi xác suất thành công: P (F) = 1 – p. (Hãy nhớ rằng “1” là tổng xác suất của một sự kiện xảy ra… xác suất luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1). Cuối cùng, tất cả các thử nghiệm Bernoulli là độc lập với nhau và xác suất thành công không thay đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác, ngay cả khi bạn có thông tin về kết quả của các thử nghiệm khác.
– Nhiều trường hợp phân phối nhị thức có thể được tìm thấy trong cuộc sống thực. Ví dụ, nếu một loại thuốc mới được giới thiệu để chữa một căn bệnh, thì nó sẽ chữa khỏi căn bệnh đó (nó thành công) hoặc nó không chữa khỏi căn bệnh đó (nó thất bại). Nếu bạn mua một vé số, bạn sẽ trúng tiền hoặc không. Về cơ bản, bất cứ điều gì bạn có thể nghĩ đến chỉ có thể là thành công hoặc thất bại đều có thể được biểu diễn bằng phân phối nhị thức.
– Công thức phân phối nhị thức có thể tính toán xác suất thành công của các phân phối nhị thức. Thường thì bạn sẽ được yêu cầu “gắn” các con số vào công thức và tính toán . Điều này nói thì dễ nhưng không dễ thực hiện — trừ khi bạn rất cẩn thận với thứ tự các thao tác , bạn sẽ không có câu trả lời đúng. Nếu bạn có Ti-83 hoặc Ti-89, máy tính có thể làm được nhiều việc cho bạn. Nếu không, đây là cách chia nhỏ vấn đề thành các bước đơn giản để bạn có câu trả lời đúng — mọi lúc.
2. Ví dụ về phân phối nhị thức:
ví dụ 1: Q. Một đồng xu được tung 10 lần. Xác suất để lấy được đúng 6 đầu là bao nhiêu?
Tôi sẽ sử dụng công thức này: b (x; n, P) – n C x * P x * (1 – P) n – x
Số lần thử (n) là 10
Khả năng thành công (“tung a đầu ”) là 0,5 (Vậy 1-p = 0,5)
x = 6
P (x = 6) = 10 C 6 * 0,5 ^ 6 * 0,5 ^ 4 = 210 * 0,015625 * 0,0625 = 0,205078125
– Các phân phối nhị thức được tính bằng cách nhân xác suất thành công lớn lên với sức mạnh của số lần thành công và khả năng thất bại lớn lên với sức mạnh của sự khác biệt giữa số lần thành công và số lần thử. Sau đó, nhân sản phẩm với sự kết hợp giữa số lần thử nghiệm và số lần thành công.
– Ví dụ: giả sử rằng một sòng bạc đã tạo ra một trò chơi mới trong đó những người tham gia có thể đặt cược vào số đầu hoặc số đuôi trong một số lần tung xu nhất định. Giả sử một người tham gia muốn đặt cược $ 10 rằng sẽ có chính xác sáu mặt trong 20 lần tung đồng xu. Người tham gia muốn tính xác suất của điều này xảy ra và do đó, họ sử dụng phép tính cho phân phối nhị thức.
Xác suất được tính là: (20! / (6! * (20 – 6)!)) * (0,50) ^ (6) * (1 – 0,50) ^ (20 – 6). Do đó, xác suất xuất hiện chính xác sáu đầu trong 20 lần tung đồng xu là 0,037, hay 3,7%. Giá trị dự kiến là 10 đầu trong trường hợp này, vì vậy người tham gia đã đặt cược kém.
– Ví dụ, lật đồng xu được coi là một thử nghiệm Bernoulli; mỗi lần thử chỉ có thể lấy một trong hai giá trị (đầu hoặc đuôi), mỗi lần thành công đều có xác suất như nhau (xác suất lật ngửa là 0,5), và kết quả của một lần thử không ảnh hưởng đến kết quả của lần thử khác. Phân phối Bernoulli là một trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức với số lần thử n = 1.
Nói chung, không có công thức duy nhất nào để tìm giá trị trung bình cho phân phối nhị thức và thậm chí nó có thể không phải là duy nhất. Tuy nhiên, một số kết quả đặc biệt đã được thiết lập:
+ Nếu np là một số nguyên thì giá trị trung bình, trung vị và mode trùng nhau và np bằng nhau .
+ Mọi trung vị m phải nằm trong khoảng ⌊ np ⌋ ≤ m ≤ ⌈ np ⌉ .
+ Trung vị m không thể nằm quá xa trung bình: | m – np | ≤ min {ln 2, max { p , 1 – p } }.
+ Trung tuyến là duy nhất và bằng m = round ( np ) khi | m – np | ≤ min { p , 1 – p } (trừ trường hợp p = 1/2 và n là số lẻ).
+ Khi p là một số hữu tỉ (trừ p = 1/2 và n lẻ) thì trung vị là duy nhất.
+ Khi p = 1/2 và n là số lẻ thì m bất kỳ trong khoảng 1/2( n – 1) ≤ m ≤ 1/2( n + 1) là trung vị của phân phối nhị thức. Nếu p = 1/2 và n chẵn thì m = n / 2 là trung vị duy nhất.
Giới hạn đuôi: Đối với k ≤ np , giới hạn trên có thể được suy ra cho đuôi dưới của hàm phân phối tích lũy
