Phương trình mặt cầu trong không gian là một dạng toán hình học mô hình hóa không gian 3 chiều. Mời bạn đọc tìm hiểu thông tin chi tiết về phương trình mặt cầu và những dạng bài toán liên quan.
Mục lục bài viết
1. Mặt cầu là gì? Phương trình mặt cầu là gì?
Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.
Khi quay nửa hình tròn (O, R) một vòng quanh đường kính AB cố định thì ta sẽ được một hình cầu.
- Nửa đường tròn trong phép quay trên sẽ tạo thành một mặt cầu.
- Điểm O được gọi tâm hình cầu, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.
Mặt cầu là tập hợp các điểm cách đều điểm O (tâm hình cầu) cố định cho trước một khoảng không đổi bằng R (bán kính).
Khái niệm về phương trình mặt cầu: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S( I;R ) => S( I;R ) = {M / IM = R}
2. Các dạng phương trình mặt cầu:
2.1. Phương trình chính tắc:
Ta có:
d(I,(P)) > R : Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).
d(I,(P)) = R : Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng Δ:
d > R: Đường thẳng Δ không cắt mặt cầu (S)
d = R: Đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S)
d < R: Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) theo dây cung 
3. Các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu thường gặp:
Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Tìm điều kiện để phương trình dạng khai triển là phương trình của một đường tròn
Phương pháp:
Xét phương trình (S):
Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
Lời giải:
Phương trình (S):
Tâm I (-1, 2, 3)
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Phương pháp
*Cách 1: VIết phương trình mặt cầu dạng chính tắc
Bước 1: Xác định tâm O(a; b; c)
Bước 2: Xác định bán kính R của (S)
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm O(a; b; c) và bán kính R là:
*Cách 2: Viết phương trình mặt cầu dạng tổng quát
– Gọi phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
– Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a,b,c,d với a2 + b2 + c2 – d > 0.
* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3.
2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)
3. (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(-2; 0; 1)
* Lời giải:
1. (S) có tâm O(2; 2; -3) và bán kính R = 3. có phương trình là:
(x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9
2. (S) có tâm O(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1)
* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
1. (S) qua A(3; 1; 0) , B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.
2. (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 = 0
(x – 10)2 + y2 + z2 = 50
2) Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên ta có:
– Do mặt cầu (S) tiếp xúc với Δ nên d[I,Δ] = R
* Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
1. (S) qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4)
2. (S) qua A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) , C(0; 12; 4) và có tâm I thuộc mp (Oyz)
* Lời giải:
a) Có thể giải theo 2 cách:
* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc
– Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:
⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính 
có phương trình là:
(x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát
– Gọi phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 , (a2+ b2 + c2 – d > 0).
– Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:
– Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:
(x+2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26
2. Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên ta có I(0;b;c)
– Ta lại có: IA = IB = IC 
⇒ Mặt cầu có tâm I(0;7;5) và bán kính 
có pt là:
x2 + (y – 7)2 + (z – 5)2 = 26.
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
Phương pháp:
– Sử dụng các công thức liên quan về vị trí tương đối giữa đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu:
+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của mặt cầu (S)⇔ d[O;Δ] = R
+ Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu (S)⇔ d[O;(P)] = R
* Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: 
và mặt cầu (S): 
, tìm số giao điểm của Δ và (S).
* Lời giải:
– Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0;1;2) và có VTCP là 
– Mặt cầu (S) được viết lại:
(x2 – 2x + 1) + y2 + (z2 + 4z + 4) – 4 = 0
⇔ (x – 1)2 + y2 + (z+2)2 = 4
⇒ Mặt cầu có tâm I(1;0;-2) và bán kính R = 2.
– Ta thấy: d(I, Δ) > R nên đường thẳng không cắt mặt cầu.
* Ví dụ 2: Cho điểm I(1;-2;3).
a) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
b) Hãy viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 
* Lời giải:
a) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.
– Gọi M là hình chiếu của I(1;-2;3) lên Oy, ta có M(0;-2;0)
– Ta có: 
là bán kính của mặt cầu cần tìm.
⇒ (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng (Δ)
* Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I(2;3;-1) cắt đường thẳng (Δ) : 
tại 2 điểm A và B sao cho AB = 16. Viết phương trình của (S).
* Lời giải:
– Đường thẳng (Δ) đi qua điểm M(11;0;-25) có VTCP là 
– Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ), vì vậy
⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và bán kính R = 17 có phương trình là:
(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 172 = 289.
* Ví dụ 4: Cho điểm I(1;0;0) và đường thẳng (Δ): 
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng (Δ) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB đều.
* Lời giải:
– Đường thẳng (Δ) đi qua M(1;1;-2) và có VTCP 
– Ta có 
– Gọi H là hình chiếu của I lên (Δ) , ta có:
