Nghiệm trong toán học là gì? Nghiệm của đa thức một biến là gì? Số nghiệm của đa thức một biến? Cách tìm nghiệm của đa thức một biến? Bài tập vận dụng?
Toán học luôn là môn khó nhằn đối với bạn? Những bài toán khó khăn, quá trình làm phức tạp khiến chúng ta dễ nản lòng và mong muốn bỏ cuộc. Nhưng bạn có bao giờ cảm thấy vui khi tìm ra kết quả của một bài toán khó chưa? Bạn đã bao giờ nghe thấy khái niệm của Nghiệm chưa? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!
Mục lục bài viết
1. Nghiệm trong toán học là gì?
Trong toán học, căn đơn vị, đôi khi được gọi là số de Moivre, là bất kỳ số phức nào mà lũy thừa nguyên dương của n cho kết quả bằng 1 . Nghiệm đơn vị được sử dụng trong nhiều ngành toán học và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết nhóm thuộc tính và biến đổi Fourier rời rạc.
Dễ hiểu hơn, ta có thể hiểu rằng: Nghiệm (hay còn gọi là nghiệm) của một phương trình: là các giá trị của x1, x2,… trong đó giá trị của hàm số f bằng 0. Có những phương trình mà nghiệm số thực hiện không tồn tại. Việc tìm các nghiệm của một phương trình gọi là giải phương trình. Căn của một số, nếu nó tồn tại, có thể được tìm thấy bằng phép biến đổi toán học và được biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc được tìm thấy dưới dạng một số bằng các phương pháp số, ngay cả khi nó không thể được biểu thị bằng các hàm toán học cơ bản.
2. Nghiệm của đa thức một biến là gì?
Cho đa thức P(x) sau:
Nếu tại x = a làm cho đa thức P(x) đã cho có giá trị = 0 thì a chính là nghiệm của đa thức P(x) đó
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(y)=2y+6″>P(y)=2y+6P(y)=2y+6
Giải
Từ 2y+6=0″>2y+6=02y+6=0⇒2y=−6⇒y=−62=−3″>⇒2y=−6⇒y=−62=−3⇒2y=−6⇒y=−62=−3
Vậy nghiệm của đa thức P(y)”>P(y)P(y) là –3.”>–3.
Dạng 1: Kiểm tra xem x=a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không?
Phương pháp:
Ta tính P(a)”>P(a)P(a), nếu P(a)=0″>P(a)=0P(a)=0 thì x=a”>x=ax=a là nghiệm của đa thức P(x).”>P(x).
Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp:
Để tìm nghiệm của đa thức P(x)”>P(x)P(x), ta tìm giá trị của x”>xx sao cho P(x)=0.”>P(x)=0.P(x)=0.
Dạng 3: Chứng minh đa thức không có nghiệm
Phương pháp:
Để chứng minh đa thức P(x)”>P(x)P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x)”>P(x)P(x) nhận giá trị khác 0″>00 tại mọi giá trị của x.”>x.
3. Số nghiệm của đa thức một biến:
Nghiệm của đa thức một biến lớp 7 là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng cần phải nắm vững để có thể làm nền tảng kiến thức học nâng cao. Theo đó một đa thức có thể có tới 1, 2, 3,… hoặc n nghiệm. Ngoài ra đa thức cũng có thể không có nghiệm nào. Tuy nhiên đó phải là đa thức khác với đa thức không.
Lưu ý:
Một trong những lưu ý quan trọng cần phải chú tâm khi tìm nghiệm của đa thức 1 biến đó chính là số nghiệm của đa thức đó (khác với đa thức 0) bắt buộc không được vượt quá bậc của nó.
4. Cách tìm nghiệm của đa thức một biến:
Theo lý thuyết, nghiệm của đa thức 1 biến là a nếu thay x = a làm cho đa thức P(x) đã cho có giá trị bằng 0
Do đó cách tìm nghiệm của đa thức một biến là cho đa thức đó = 0 sau đó giải như phương trình một ẩn bình thường.
Ví dụ minh họa: Cho đa thức sau P(x) = 2x – 8. Tìm nghiệm của đa thức của đa thức đã cho trên
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta có: P(x) = 0 <=> 2x – 8 = 0 <=> x = 4.
Vậy nghiệm của đa thức một biến P(x) = 0 là x = 4
5. Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho đa thức f(x) = x2 – 6x + 8. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho?
| A. 4 | B. 5 | C. 6 | D. 7 |
Câu 2: Nghiệm của đa thức x2 – 10x + 9 là:
| A. -1 và -9 | B. 1 và -9 | C. 1 và 9 | D. -1 và 9 |
Câu 3: Tích các nghiệm của đa thức x11 – x10 + x9 – x8 là
| A. -3 | B. -2 | C. -1 | D. 0 |
Câu 4: Số nghiệm của đa thức x3 + 8 là:
| A. 0 | B. 1 | C. 2 | D. 3 |
Câu 5: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 3x2 – 27 là:
| A. 0 | B. 6 | C. -1 | D. -6 |
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho đa thức f(x) = x2 – x – 6
a, Tính giá trị của f(x) tại x = 1, x = 2, x = 3, x = -1, x = – 2, x = -3
b, Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
| a, (x – 3)(x + 3) | b, (x – 2)(x² + 2) |
| c, 6 – 2x | d, (x³ – 8)(x – 3) |
| e, x² – 4x | f, x² – 5x + 4 |
| g, 6x³ + 2x |
Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:
| a, 10x² + 3 | b, x² + 1 |
Bài 4: Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² – 7x + c có nghiệm bằng 5.
Bài 5: Lập đa thức một biến trong mỗi trường hợp sau:
a) Chỉ có một nghiệm là -2/5
b) Chỉ có hai nghiệm là √2 và -√3
c) Chỉ có ba nghiệm là (0,7) , (-0,7) , (-0,6)
d) vô nghiệm
Bài 6: Cho đa thức f(x) = 2x2 + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
A. -9 B. 1 C. -1 D. -4
f(-9) = 2.(-9)2 + 12.(-9) + 10 = 64 ≠ 0 ⇒ x = -9 không là nghiệm của f(x)
f(1) = 2.(1)2 + 12.(1) + 10 = 24 ≠ 0 ⇒ x = 1 không là nghiệm của f(x)
f(-1) = 2.(-1)2 + 12.(-1) + 10 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của f(x)
f(-4) = 2.(-4)2 + 12.(-4) + 10 = -6 ≠ 0 ⇒ x = -4 không là nghiệm của f(x)
Chọn đáp án C
Bài 7: Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = x2 + x – 2
A. x = 1; x = -2
B. x = 0; x = -1; x = -2
C. x = 1; x = 2
D. x = 1; x = -2; x = 2
P(0) = 02 + 0 – 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = 0 không phải là nghiệm của P(x)
P(-1) = (-1)2 + 1.(-1) – 2 = -2 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của P(x)
P(1) = 12 + 1.1 – 2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của P(x)
P(2) = 22 + 1.2 – 2 = 4 ≠ 0 ⇒ x = 2 không là nghiệm của P(x)
P(-2) = (-2)2 + 1.(-2) – 2 = 0 ⇒ x = -2 không là nghiệm của P(x)
vậy x = 1; x = -2 là nghiệm của P(x)
Chọn đáp án A
Bài 8: Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x + 14)(x – 4) là:
A. {4; 14} B. {-4; 14} C. {-4; -14} D. {4; -14}
Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}
Chọn đáp án D
Bài 9: Cho đa thức sau f(x) = x2 + 5x – 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:
A. 2 và 3 B. 1 và – 6 C. -3 và -6 D. -3 và 8
Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và -6
Chọn đáp án B
Bài 10: Tổng các nghiệm của đa thức x2 – 16 là:
A. -16 B. 8 C. 4 D. 0
Vậy x = 4; x = -4 là nghiệm của đa thức x2 – 16
Tổng các nghiệm là 4 + (-4) = 0
Chọn đáp án D
III. Tự luận nâng cao
Bài 1: Số nghiệm của đa thức x3 + 27 là:
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Ta có x3 + 27 = 0 ⇒ x3 = -27 ⇒ x3 = (-3)3 ⇒ x = -3
Vậy đa thức đã cho có một nghiệm x = -3
Chọn đáp án A.
Bài 2: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm
a) P(x) = x2 + 1 b) Q(y) = 2y4 + 5
a) Vì x2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 1
Do đó: P(x) = x2 + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.
b) Vì y4 ≥ 0 nên 2y4 + 5 > 0
Do đó: Q(y) = 2y4 + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm.
Bài 3: Tìm nghiệm của đa thức
a) x2 – 2003x – 2004 = 0
b) 2005x2 – 2004x – 1 = 0
a) Đa thức x2 – 2003x – 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004
Khi đó ta có: a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004) = 0
Nên đa thức x2 – 2003x – 2004 = 0 có nghiệm x = -1
b) Đa thức 2005x2 – 2004x – 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1
Khi đó ta có: a + b + c = 2005 – 2004 – 1 = 0
Nên đa thức 2005x2 – 2004x – 1 = 0 có nghiệm x = 1.
